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University of Illinois Library

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EYKAEIAOY TA 2QZOMENÀ.

EUCLIDIS QVM SUPERSUNT.

LES OEUVRES DEUCLIDE.

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LES OEUVRES

D'EUCLIDE,

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TRADUITES EN LATIN ET EN FRANÇAIS.

D'après un manuscrit très-ancien qui était resté inconnu jusqu'à nos jouis.

PAR F. PEYRARD,

TRADtrCTEtrR UES OEUYBES D'ARCHIXÈnE- OrVRAGE APPROEYÉ PAR L'INSTITUT DE FRANCE.

TOME PREMIER.

A PARIS,

Chez M. PAT RI S, imprimeur - Ebraire , me de h Colombe, cm b Cité, a* 4*

1814

57t,-z

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Cet Ouvrage se trouve aussi à Paris , aux indications suivantes :

L'AUTEUR, place Cambrai, n° 6;

JTREUTTEL et WURTZ, libraires à Paris, rue de Lille, n« 17; (Firmin DIDOT, rue Jacob, n» 24»

Madame veuve COURCIER, quai des Augustius, n° 57.

.

161916

PRiEFATIO.

JliUCLiDEs vixit temporibus Ptolemaei-Lagi , circiter annum 272 ante aeram vulgarem ; Archimedes suis in libris saepe de illo meminit. Euclides a Pto- lemaeo interrogatus an non esset methodus discendae Geometriae methodo suâ facilior : Non est regia, inquit Euclides, ad Geometriam via. Haec tan- tura de Euclide novimus : quâ sit patriâ oriundus ignoratur.

Ante Euclidem permulti floruerunt geometrae. Primus omnium Grœco- rum, Euclides eorum opéra collegit, collecta digessit, et quae fuerant incon- dite demonstrata , ea demonstrationibus inconcussis exornavit.

Hurima opéra Euclides conscripserat ; ex quibus tredecim libri Ele- mentorum et Data tantum supersunt.

Librorum omnium qui de scientiarum démentis agunt liber perfectis- simus semper habita sunt Euclidis Elementa , quae in omnes omnino linguas fuerunt conversa.

De Elementis Euclidis sic Cardanus : Quorum inconcussa dogmatum

jirmitas, perfectioque adeo absoluta est, ut nullum opus kuic aliud

comparare audeas; quibus fit ut adeo veritatis lux in eo refulgeat,

ut soli hi in arduis quœstionïbus videantur posse a vero falsum dis-

cernere , qui Euclidem hàbeant familiarem.

Ait Pemberton se non semel Newtonem audivisse mœrentem quod sese Cartesii aliorumque algebristarum operibus totum dedisset , antequam studuisset Euclidis Elementis , et illa fuisset meditatus.

D. Lagrange quem extinctum luget et diu lugebit Europa , mihi dic- titabat Geometriam esse linguam mortuam; et qui in Euclidis Elementis

PRÉFACE.

XLuclide vivait du temps de Ptolémce-Lagus, vers l'an 272 avant l'ère vulgaire ; Archimède l'a cité dans plusieurs de ses livres. Ptolémée ayant demandé à Euclide s'il n'y avait pas de manière plus facile que la sienne pour apprendre la Géométrie , Euclide répondit qu'il n'y avait, point de chemin royal pour arriver à cette science. C'est tout ce que nous savons d'Enclide : on ignore même quelle fut sa patrie.

Beaucoup de géomètres avaient paru avant Euclide. Le premier des Grecs, Euclide rassembla leurs ouvrages, les mit dans un ordre conve- nable, et donna des démonstrations inattaquables de ce qui n'avait pas été démontré d'une manière rigoureuse.

Euclide avait composé un grand nombre d'ouvrages. Les treize livres des Eléments et les Données sont les seuls qui soient parvenus jusqu'à nous.

Les Eléments d'Euclide ont toujours été regardés comme le plus parfait de tous les livres élémentaires ; ils ont été traduits et commentés dans toutes les langues.

Cardan, en parlant des Eléments d'Euclide, s'exprime ainsi : Quorum inconcussa dogmatumfivmitas, perfectioque adeo absoluta est, ut tiullum opus jure liuic aliud comparare audeas ; quibus fit ut adeo . veritatis lux in eo refulgeat , ut soli hi in arduis (jucestionibus videantur posse a vero falsum discernere , qui Euclidem habeantfamiliarem.

Pemberton nous apprend qu'il avait entendu plusieurs fois Newton se plaindre de s'être livré tout entier aux ouvrages de Descaries, et des autres algébristes, avant d'avoir étudié et médité les Éléments d'Euclide.

M. Lagrange, dont l'Europe déplore et déplorera long-temps la perte, me répétait souvent que la Géométrie était une langue morte; que celui qui

b

x PR^FATIO.

Geometriœ non stuclebat , eum perinde facere ac si quis grœcam latinamve linguam in recentioribus operibus grœce et latine scriptis discere velit.

Theoreraata subscquentia , quœ in quolibet Geometriœ tractatu adesse soient, in Elementis Euclidis desiderantur :

Circulorum circumferentiœ inter se sunt ut eorum diametri.

Quilibet circulus œqualis est triangulo rectangulo cujus unum exlateribns angulum rectum continentibus œquale est scmi-diamelro, alterum autem œquale circumferentiœ.

Cujuslibet cylindri recti superficies convexa œqualis est rectangulo cujus altitudo œqualis est cylindri lateri, cujus autem basis œqualis circumferentiœ basis cylindri, vel circulo cujus semi-diamcter média proportionalis est inter latus cylindri et diametrum htuià cylirwlri.

Cujuslibet coni recti, excepta basi, superficies convexa œqualis est trian- gulo rectangulo cujus unum laterum angulum rectum continentium œquale est coni lateri, alterum vero œquale circumferentiœ basis coni, vel circulo cujus semi-diameter média proportionalis est inter coni latus et semi-diame- trum circuli qui coni est basis.

Superficies convexœ cylindrorum rectorum et similium , et etiam cono- rum rectorum et similium, sunt inter se ut diametri basium eorumdem cylindrorum et conorum.

Cujuslibet sphœrœ superficies œqualis est quatuor maximis cjusdem spbœrœ circulis, vel superficici convexœ cylindri circumscripti.

Spliœrarum superficies inter se sunt ut quadrata earum diamelrorum. Quœlibet spbœra œqualis est duabustertiispartibus cylindri circumscripti.

Nonnulli credidere hœc theoremata ex Euclidis Elementis evanuisse tem- porum inclementià ; sed falso. Hœc enim theoremata quœ demonstrari non possunt nisi ope quatuor primorum postulatorum in initio primi libri de Sphœrd et Cjlindro positorum , demonstrari non potuerunt ab Euclide , qui hœc Archimedis postulata non admiserat.

PRÉFACE. Xj

û'étudiait pas la Géométrie dans Euclide, faisait îa même chose que celui qui voudrait apprendre le grec et le latin, en lisant les ouvrages modernes écrits dans ces deux langues.

Les théorèmes suivants, qui se trouvent ordinairement dans tout traité élémentaire de Géométrie , ne se trouvent pas dans les Éléments d' Euclide:

Les circonférences de cercles sont entre elles comme leurs diamètres.

Un cercle est égal à un triangle rectangle dont un des côtés de l'angle droit est égal au rayon , et dont l'autre côté de l'angle droit est égal à la circonférence,

La surface convexe d'un cylindre droit est égale à un rectangle dont la hauteur est égale au côté du cylindre, et dont la base est égale à la circonférence de la base du cylindre, ou bien à un cercle dont le rayon est moyen proportionnel entre le côté du cylindre et le diamètre de sa base.

La surface d'un cône droit , la base exceptée , est égale à un triangle rectangle dont un des côtes de l'angle droit est égal au côté du cône, et dont l'autre côté de l'angle droit est égal à la circonférence de la base du cône , ou bien à un cercle dont le rayon est moyen proportionnel entre le côté du cône et le rayon du cercle qui est la base du cône.

Les surfaces convexes des cylindres droits et semblables, des cônes droits et semblables, sont entre elles comme les diamètres des bases de ces cylin- dres et de ces cônes.

La surface d'une sphère est égale à quatre grands cercles, ou à la sur- face convexe du cvlindre circonscrit.

Les surfaces des sphères sont entre elles comme les quarrés de leurs diamètres.

Une sphère est égale aux deux tiers du cylindre circonscrit.

Des personnes ont pensé que ces théorèmes avaient disparu des Eléments d'Euclide par l'injure des temps; c'est une erreur. Ces théorèmes, qui ne peuvent se démontrer qu'à l'aide des quatre premières demandes placées au commencement du premier livre de la Sphère et du Cylindre , n'ont pu l'être par Euclide, qui n'avait point admis ces demandes d'Archimède.

xij PRiEFATI O.

Forsan tlici potest solam dissirniiitudinem quœ intercedit Euclidis. inler et Arcbimedis metbodum, consistere in rejectione vel in admissione postu- latorum de quibus hîc incidit sermo.

In prœfatione meœ versionis librorum i, 2, 3, >'\, 6, 11, 12 Elemen- torum Euclidis, quae anno 1804 édita fuit, suscepi mnnus cdendi versiones operum completorum Euclidis, Archimedisque et Apollonii. Mea versio operum Arcliimedis vulgata est anno 18083 quo quidem tempore, ver- tendis Euclidis operibus ultimam manum admoveram. Sed antequam prelo subjicerelur, considère volui codices manuscriptos bibliotbecae imperialis de plurimis locis qui mibi videbantur mutilati vel corrupti in editione Oxoniœ, quà usus fueram in convertendo Euclidc. Hi codices , très et viginti numéro, mibi commissi fuerunt, et statim animadverti editionem Oxoniœ nullius borum manuscriptorum esse exemplar 3 bos omnes manuscriptos explere lacunas, et restituée locos corruptos in editione basiliensi et in editione Oxoniœ quœ nihil aliud est quam ejus exemplar. Quin eiiam anim- adverti hos omnes manuscriptos, manuscripto 190 tantum excepto, inter se esse ferme consentaneos ; manuscriptum autem 190 explere lacunas, restituere locos corruptos qui ope aliorum manuscriptorum nec explebantur nec restituebantur.

Manuscriptus 190 ad bibliothecam vaticanam pertinebat : is Roniù Lute- tiam a comité de Peluse fuit missus.

In manuscripto grœco 2348 , sub finem saeculi decimi sexli exarato, quique continet Euclidis Data cum quinque antiquissimis vaticanis manuscriptis graecis collata a Josepho Auriâ , celcbri geometrà , nec unam quidem repe- rias é pretiosissimis lectionibus manuscripti 190 variantibus; quod probare videtur hune manuscriptum tune temporis in bibliothecâ vaticanà fuisse desideratum.

Manuscriptus 190 manuscriptorum exeHnte'nono sceculo exaratorum éMpnià pree se fert indicia ; alii vero manuscripti pertinent ad sxcula mulio recentiora.

Hoc manuscripto mihi commisso, statim in animum incidit edere gi\rce, latine et gallice Elementa et Data, sola procul dubio qua; supersint Euclidis

PRÉFACE. xiij

On pourrait peut-être dire que la seule différence entre la méthode d'Euclide et celle d'Archimède, consiste dans le rejet ou l'admission des quatre demandes dont je viens de parler.

Dans la préface de ma traduction des livres 1,2, 3, 4 56, 11, 12 des Éléments d'Euclide, qui parut en 1804, je pris l'engagement de publier les traductions des œuvres complètes d'Euclide, d'Archimède et d'Apollo- nius. Ma traduction des œuvres d'Archimède parut en 1808. A cette époque j'avais mis la dernière main à la traduction des œuvres d'Euclide. Mais avant de la livrer à l'impression, je voulus consulter les manuscrits de la bibliothèque impériale sur les passages qui me paraissaient tronqués ou altérés dans l'édition d'Oxford, d'après laquelle j'avais fait ma traduc- tion. Ces manuscrits, qui sont au nombre de 23, me furent confiés, et je ne tardai pas à in apercevoir que l'édition d'Oxford n'est la copie d'aucun de ces manuscrits ; que tous ces manuscrits remplissent des lacunes, et rétablissent des passages altérés qui se trouvent dans l'édition de Bàle, et dans celle d'Oxford qui n'en est que la copie. Je remarquai aussi que tous ces mannscrits, le n° 190 seul excepté, sont à peu de choses près conformes les uns aux autres; que le n° 190 remplit des lacunes, et rétablit des passages altérés, qui ne peuvent pas l'être à l'aide des autres manuscrits.

Le manuscrit 190 appartenait à la bibliothèque du Vatican : il fut envoyé de Rome à Paris par le comte de Peluse.

Dans le manuscrit grec n° 2348, qui est de la fin du seizième siècle, et qui contient les Données d'Euclide collationnées par Joseph Au ria , géomètre célèbre, avec les cinq plus anciens manuscrits grecs de la bibliothèaue du Vatican, on ne trouve aucune des précieuses variantes du manuscrit 190; ce qui semble prouver que ce manuscrit n'était pas alors à la bibliothèque du Vatican.

Le manuscrit 190 porte tous les caractères des manuscrits de la fin du neuvième siècle , tandis que les autres appartiènent à des siècles beaucoup plus rapprochés de nous.

Etant dépositaire de ce précieux manuscrit, je me déterminai, sans ba- lancer, à donner une édition grecque, latine et française des Éléments et

xiv P R E F A T I O.

opéra. Quaproptcr , contuli mannscriptura igo cum cditione Oxoniœ , exaravique lectiones variantes in margine operi impressi.

His perfcctis, ad variantes lectiones margini appositas sedulus attendi, et aliis manuscriptis accersitis, liane aut illam lectionem variantem in edi* tionem parisiensem admisi, vel ab eà rejeci. Manuscriptum igopotiorcm habui , quotiescumque nulla mihi fuit îatio cur liane aut illam lectionem prseferrem.

Textum graecum sic constitutum in lalinum converti, et quœcunque ex variantibus quas admiseram lectionibus, mutari fuit opportunum , hœc in versione gallicâ mutata sunt.

Mca latina versio ad verbum textui grœco congruit, nisi quid peculiare me coegerit ni. spcus (Vercui. IS'onnuîii in meâ versione occurrent forte hellenismi, aut saltem qnaedam locutiones a quibus lingua latina abbor- rere videtur. Illas quidem vitare potuissem j sed mea versio cum textu grœco minus fuisset consenianca.

De meà convertendi ratione , viros in grœcà latinâque lingua versatis- simos consului. D. Delambre , secretarius perpetuus classis scientiarnm physicarum et matliematicarum Instituti imperialis Franciae, neenon Uni- versitatis imperialis qnœstor, meam versionem dignatus est perpendere, et utilia mihi dare consilia. Hanc eà de re ad me scripsit epistolam :

•

Parisiis, 20 februarii 1812.

Cum volnptate legimns ses prima folia tui Euclidis trilinguis. Tuî commissarii desiderium cnuntiaverant videndi editum Euclidis textum graecum expurgalum omnibus mendia quas castigavisti manuscriptorum ope, et locupletatum omnibus incrementis qux tibi suppeditaverunt manuscripti : mox eorum omniumque doctorum explebis desiderium.

Multum probo quod constitutum liahuisti reddere versionem Iatinam lam consentancam quam utraqne lingua ferre potest. Gracis erant duœ viae indicandorum casuum obliquorum , terminatio scilicet et articulus ; quanflo una earum duarum rationum eos deficiebat, quod srepe in geometrià contingit, articulus satis crat ad omnem tollendam dubitationem.

PRÉFACE. xv

des Données d'Euclide, qui sont certainement les seuls ouvrages qui nous restent de ce géomètre à jamais célèbre. Pour cela, je comparai le manuscrit 190 avec l'édition d'Oxford, et j'écrivis les variantes en marge de l'ou- vrage imprimé.

Ce travail terminé, j'examinai attentivement les variantes marginales, et à l'aide des autres manuscrits, j'adoptai ou je rejetai, pour l'édition de Paris, telle ou telle variante. Le manuscrit 190 a toujours eu la préfé- rence, toutes les fois que je n'avais pas de motif pour préférer une leçon à une autre.

Le texte grec étant ainsi arrêté, je le traduisis en latin, et je fis à la traduction française les changements exigés par les variantes que j'avais adoptées.

Ma traduction latine correspond mot pour mot au texte grec, à moins que quelque règle particulière ne m'ait forcé de faire autrement. On trouvera quelquefois des héllénismes dans ma traduction, ou du moins certaines expressions qui semblent s'écarter un peu du génie de la langue latine. J'aurais pu les éviter ; mais ma traduction aurait été moins fidèle.

J'avais soumis mon système de traduction à des personnes versées dans la langue grecque et dans la langue latine. M. Delambre, secrétaire perpétuel de la classe des sciences physiques et mathématiques de l'Institut impérial de France et trésorier de l'université impériale, eut la complaisance de l'examiner, avec soin , et de in aider de ses sages conseils. Voici la lettre qu'il me fit l'honneur de m'écrire à ce sujet :

Paris, ce 20 février 1812.

MoïfSiEtîR , j'ai lu avec plaisir les six premières feuille» de votre Euclide en trois langues. Vos commissaires avaient exprimé le vœu de voir paraître une édition grecque du texte d'Euclide , purgée de toutes les fautes que les manuscrits vous ont fait rectifier , et enri- eliie de toutes les additions qu'ils vous ont fournies : vous allez remplir leur vœu , et celui de tous les savants.

J'approuve beaucoup le parti que vous avez pris de rendre la version latine aussi litté- rale que le permet le génie des deux langues. Les grecs avaient deux moyens pour indiquer les cas obliques, la terminaison et l'article ; quand l'une de ces deux ressources leur man- quait, comme il arrive souvent en géométrie, l'article suffisait pour ôter toute incertitude.

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leur avis. Car , ayant la dan» le Xi i de tj-îg : &o '

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Quantàlai génie de cette langue.

J'ai placé à la fin de cnaqra votante la Este exacte «le fiantes fes- de noa édition avec le wwOTJt 19» et Féddion dOiJÈertL Parle aaayen de ces variantes, on pourrait, à «m le déaraït, avoir tl: miscrit 190 qui hn serait partait ran ni coaaoraae,

Le dernier volute- qui paraîtra daas le courant de 1S14- serai

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par des. observations sur les Tarâmes les plus reniar passages dEadide.

Tai fait tons mes efforts pour qne son «Kdon fit de h puas grande correction; les épreuves y après avoir été lues par aaoi„ ont été Inès par M.

xviij P R M F A T I O.

prius subscripsi , prelo subjiciatur, quam illud mendis omnibus fuisset expurgatum. Ope erratorum ad finem ultimi tomi collocatorum , corrigi poterunt mendae , si quas detexero in legendo perattente opère impresso.

D. NicolopoulOy smyrnaeus, vir eximià doctrinâ commendabilis et dili- gentissimus emendator, sponte suà legit plurima specimina. D. Patris, qui linguamgraecam, latinam et gallicam diu excoluit, summà cura etdiligentià usus est ut mea editio prelis gallicis honori esset 5 in speciminibus legendis, versionem latinam et gallicam cum textu grœco perattente comparabat, et margini notationes apponebat.

Ex lectionibus variantibus tomi primi , qua?dam prsesertim sunt no- tandoe.

In omnibus cditionibus grœcis et latinis postulata 4> 5, 6 inter com- munes notiones collocata sunt.

Demonstratio propositionis septimse libri primi duos habet casus , et tamen unus solum casus demonstratur in omnibus manuscriptis , nullo excepto , et in editionibus Basilia3 et Oxoniœ. Secundus casus est cùm punctum a incidit in triangulum ABr, vel punctum r in triangulum aba. Ut secundus casus demonstraretur , antea demonstrandum fuerat , lateribus œqualibus trianguli isocelis produclis,angulos sub basi inter se aequalcs essej quod quidein Euclides dcmonstravit in propositione quintâ, et hoc tantum propositionis septimœ causa, quandoquidem, propositione septimâ excepta, haec demonstratio nullum usum habet in reliquis Euclidis Elementis ; ex hoc manifeste sequitur , inquiunt omnes Euclidis commenta tores, textum grœcum propositionis septimse esse mutilatum. Omnes commentatores in errore versabantur. Figura incompleta crat in omnibus manuscriptis et in omnibus editionibus. Secundam descripsi figuram; produxi rectasBr, ba, et demonstratio compléta fuit, in textu grœco nullà voce mutatà.

Demonstratio propositionis 24 tertii libri très casus habet. Posito enim a super r, et puncto b super a, oportet demonstrare segmcntum aeb non

PRÉFAC E. Xix

moi. Je n'ai jamais donné de bon à tirer que je ne me fusse assuré au- paravant que toutes les corrections avaient été faites. Par le moyen d'un errata, que je placerai à la fin du dernier volume, on pourra corriger les fautes qu'une lecture très-attentive que je ferai de l'ouvrage imprimé m'aura fait découvrir.

M. ÎNicolopoulo , de Smyrne , homme recommandable par ses rares talents çt très-habile correcteur ,abien voulu lire un grand nombre de mes épreuves. M. Patris, qui a cultivé long-temps les langues grecque , latine et française, s'est donné des peines infinies pour que mon édition fît honneur aux presses françaises; en lisant les épreuves, il avait soin de comparer soigneusement la version latine et la version française au texte grec , et de me faire des observations marginales.

Parmi les variantes de ce premier volume, il en est quelques-unes qui méritent surtout d'être remarquées.

Dans toutes les éditions grecques et latines, les demandes 4> 5, 6 sont placées au nombre des notions communes.

La démonstration de la proposition 7 du livre Ier a deux cas , et cepen- dant un seul cas est démontré dans tous les manuscrits sans exception , et dans les éditions de Baie et d'Oxford. Le second cas est celui où le point a tombe dans le triangle ABr, ou bien le point r dans le triangle aba. La dé- monstration du second cas exige qu'il soit démontré auparavant que les côtés égaux d'un triangle isocèle étant prolongés, les angles au dessous de la base sont égaux entre eux; et c'est ce qu'a fait Euclide dans la proposi- tion 5, et ce qu'il n'a fait que pour la proposition 7, puisque, hors de là, cette démonstration n'est plus nécessaire dans le reste des Éléments d'Eu- clide ; d'où il suit évidemment, disent tous les commentateurs, que le texte grec de la démonstration de la proposition 7 est tronqué. Tous les commentateurs avaient tort. La figure était incomplète dans tous les ma- nuscrits et dans toutes les éditions. J'ai tracé une seconde figure ; j'ai pro- longé les droites Br, ba, et hi démonstration s'est trouvée complète, sans que j'eusse changé un seul mot au texte grec.

La démonstration de la proposition 24 du livre trois a trois cas. En effet, le point a étant sur le point r, et le point b sur le point a , il faut démontrer

xx P R M F A T I O.

posse incidere vel in|;ra segmentum aza, vel extra, vel partira intra et partim extra; hi très casus in manuscripto 190 et in editione parisiensi denions- trantur.'

Sed in omnibus aliis manuscriptis, et in omnibus aliis editionibus groecis, tantum demonstratur segmentum aeb non incidere posse partim intra segmentum rzA, et partim extra. Comrnandinus dat aliorum casuum de- monstrationem. At Robert Simson ex propositione 24 eximit partem quam propositioni 23 adjungit.

In propositione 26 libri sexti locus quidam minime intelligi poterat , lectio varians tertia omnem ex eà obscuritatem dispulit.

Gregorius > de corollario propositionis 19 libri quinti sermonem habens, sic loquitur : Corruptissimus est hic locus ; nec ope veterum exempla- rium restitui potest : versionem ideo mitttivimus , ut sensus constaret. Clavius in locum hujus corollarii alterum subdidit. Robert Simson dicit : « Hoc corollarium manifeste osteudere librum quintum a geometriae » ignaris corruptum fuisse , et hoc corollarium nullo modo pendere ex » propositione 19. i In hoc errât Robert Simson , et illum saepissime errare in meis animadversionibits ostendam.

Gregorii versio intellectu est perdifficilis.

Suppressi tertiam vocem corollarii êJW^ô». Loco proportionis : ùs Tè ab ^pès tb ta otlxaif to eb wpà« to za , scripsi hanc proportionem : m to ab TrpoçTo ta oûtuç to ae nfoç tï rz; loco tandem proportionis : ût to ab -rpos t» ae ovtus to ta vrpèç ta rz, scripsi hanc proportionem : «î to ab npoç tô eb ovtuç to at npoç to za. Ope harum levium correctionum corollarium evasit inconcussum.

In meâ editione, phrasis ifiîxQ» fi *>« to ab vpos to eb ovtuç to at wpoç to za , sed ostensum est ut ab ad eb ita at ad za ( 19. 5) , manifeste locum habet harum duarum plirasium : \fi'^n fi ûç to ab wpo? to ta oÛTWf to eb TrpU to

ZA , 6>-âAA«£ ipa. à; to AB wpoç to EB out»? to TA irpU to ZA, OStenSlim autem est lit

ab ad *à ita eb ad za (19. 5); alterne igitur ut ab ad mita ta ad za (16. 5.J.

PRÉFACE. xxj

que le segment aeb ne peut tomber ni en dedans du segment aza , ni en dehors , ni partie en dedans et partie en dehors. Ces trois cas sont dé- montrés dans le manuscrit 190 et dans l'édition de Paris.

Mais dans tous les autres manuscrits et dans toutes les autres éditions grecques, on démontre seulement que le segment aeb ne peut point tomber partie en dedans du segment rzA et partie en dehors. Commandin donne la démoustration des deux autres cas. Robeft Simson retranche une partie de la proposition 24, qu'il ajoute à la proposition 23.

Dans la proposition 26 du livre six, il y avait un passage tout à fait inin- telligible ; la variante 3 en a fait disparaître l'obscurité.

Grégori, en parlant du corollaire de la proposition 19 du livre cinq, s'exprime ainsi : Corruptissimus est hic locus ; nec ope veterum exem- plarium restitui potest : verxionem ideo mutavimus _, ut sensus cons- taret. Clavius a remplacé ce corollaire par un autre de sa façon. Robert Simson nous dit que ce corollaire prouve manifestement que le cinquième livre a été corrompu par des ignares en géométrie , et que ce corollaire ne dépend en aucune manière de la proposition 19. Robert Simson a tort ici comme dans une foule d'autres occasions , ainsi que je le ferai voir dans mes remarques*

La version de Grégori est inintelligible.

J'ai fait disparaître le troisième mot du corollaire t/s/^fl». A la place de

ûf tÔ AB 7rpcç to TA cvTUi to £B 7rpoç to ZA, j'ai mis ùç to AB wpo? to TA tvraç to AE Trpoç

to rz ; et à la place de «? to ab wpè? to ae ovtuç to ta vfoç to rz, j'ai écrit <»« to ab 7rfoç to eb oStwî to Ar vfc? to za. Par le moyen de ces légères corrections , le co- rollaire se trouve rétabli dans toute sa pureté.

Dans mon édition , la phrase UV^ô» S% û? to ab w-pè? ta eb oÎtws tô Ar npoç ta za , mais on a démontré que ab est a eb comme Ar est à za (19. 5} , tient évi- demment lieu de ««Jîsifcfl» Â àç tÔ AB vpoç ro TA outuç to EB -jrpo( to ZA , lv*h\a% ap*

ûç to ab vplç tô eb outwç t» ta irplç to za, mais on a démontré que ab est à ta comme eb est à za, (19. 5) ; donc par permutation ab est à eb comme ta est à za [16. 5J.

xxi; P R £ F A T I O.

Euclides hoc corollarium mutare potuisset in theorema, hoc modo : Si ma<nutudines compositae (*J sint proportionales , proportionales erant

per conversionem.

Sint maguitudmes composite ab, ae, rA, rz, et sit ab ad ab ita TA ad rz; dico per conversionem ut ab ad eb ita esse ta ad za.

Qaoniam enim ut ab ad ae iu ta est ad rz, alterne igitur ut A3 ad ta ita est ae ad rz (16. 5); ostensum autem est ut ab ad ta ita esse eb ad za (19. 5); alterne igitur ut ab ad eb ita est ta ad za, hoc est ut ab ad ab — ae ita est ta ad ta— rz [16. 5^5 quod est per conversionem. Quod erat dcmonstrandum.

In textu graeco manuscriptî 190. nequaquam agitur de eîrcnïorum seeio- ribus in ultimà sexti hbri propositione. Manus aliéna inter lineas et in margine manuscripti exaravit omnia quae ad sectores attinent, et quae adsunt in tevtu graeco omnium aliorum manuscriptorum et in editionibus Basiliae et Ovoniae. Hoc addimentum , quod in meam editionem admittere non de- buissem , testui a Theone factura est. Sic loquitur Theon in suis in Aima- gestum commentariis, p. 5o. 1. 7, edit. Basiliae, anno i538 : « en fi ù W

ïrmr *V2>jcr tz/jhIç Tfiç i?-^MXcaç ùnr tt( ml ymrltu tf ut fiiCizart ttfnxreu iutr lr tî

ixSim iw s-rtixûmT -xfcç -r$ ti'xu t:D »rT«w jBi&iou. » Quod autem in czqualibus circuits sectores inter se simt ut anguli in illis positi , ostensum fuit a nobis in editione Elementorum adjinem libri sexti.

Hoc Theonis addimentum, quod in subsequentibus nullum habet usmn, Euchdis festinationi moram afierL In libris praesertim 10, i4? i5, neenon in Datis bene multas surperfluitates reperias quarum nuTlam in textu raanii- scripto 190. Ob id praecipue Euclidem mirati sunt quod ille ad propositum directe tendit , numquam de.vià dedinans suâ demonstrandi causa quae ad progrediendum nequaquam sunt necessaria. Sed hoc soli manuscripto 190

convenire potest : itaque non absurde conjecerim emendatum Euclidis

■ — — . —

(*} Qoatacr magaitadines dicantar compositx , cjaando secuuda est qusedam fraclio prima? , et qoarta «piardam fractio tertûr.

PRÉFACE. sxîij

Euelide aurait pu donner à ce corollaire la forme dTnn théorème, en disant : Si des grandeurs composées (*) sont proportionnelles, elles sont pro- portionnelles par conversion.

Soient les grandeurs composées ab, ae, ta, rz, et que ab soit à ae comme r.i est à rz ; je dis que par conversion ab est à eb comme ta est à za.

Car, puisque ab est à ae comme ta esta rz, par permutation ab est à ta connue ae est à rz ( 1 6. 5) ; mais on a démontré que ab est à ta comme eb est à z a ( 1 9 . 5) -7 donc , par permutation , ab est à eb comme ea est à za, c'est- à-dire que ab est à ab — ae comme ta est à ea — rz £16. 5} j ce qui est par con- version. Ce qu'il fallait démontrer.

Dans le teste du manuscrit 190 , 3 n'est nullement question de secteurs circulaires dans la dernière proposition du livre 6. Une main étrangère a interligné et écrit en marge de ce manuscrit ce qui se trouve de relatif aux secteurs circulaires dans le teste de tons les autres manuscrits, et dans les éditions de Baie et d'Oxford. Cette addition au texte , que je n'aurais pas dû conserver , est de Théon. Voici ce qu'il dit lui-même dans ses com- mentaires sur l'Almageste, pag. 5o. 1. 7, édit. de Baie, i53S : « m S'i ûU

frire zùzÏMt TifÉiîç *jiç «*A»X«.î usru ûç ad -^miau 1$ «r iiCizmn fHtnrrxM iuZr as -ry txltmu

i» srarxftmr *f*ç r£ tîxu rsà umu fii&jso. s J ai démontré dans mon édition des Éléments y et à lajin du sixième livre, que dans les cercles égaux les secteurs sont entre eux comme les angles placés dans ces cercles.

Cette addition de Théon, qui n'est d'aucun usage dans la suite, ne sert qu'à retarder la marche d'Euclide. On trouve dans les livres 10, i4, i5 surtout, ainsi que dans les Données , une foule de pareilles snperfluités dont aucune n'est admise dans le texte du manuscrit 190. On a toujours admiré Enclide en ce qu'il marchait directement vers son but , sans jamais s'écarter de son chemin, pour démontrer ce qui ne lui était pas nécessaire pour aller en avant. Mais cela n'est vrai que pour le seul manuscrit igo j c'est pour-

{*} Quatre grandeurs sont dtles composées , lorsque la seconde est sne fraction de la jww- mïère , et que la quatrième est une fraction 4e la troisième.

xxiv PR£FATIO.

textum in hoc mairascripto contineri, aliosqne mannscriptos nihil aliud esse quam editionis vulgatae a Theone exemplaria. Non difiiteor tamen editione in meà quasdani adesse superfluitates, qaarnm indicem ad caleem animadversionum subjiciam , hoc est , indicem instiluam omnium quae hcet sublata subsequentibus nnllo modo obesse possunu

Corollarium propositionis i5 primi lihri suppressi, qnamvis eàdem manu in margine manuseripti igo exaratum sit, quia hoc corollarium non prae se fert signnm quod in hoc manuscripto monet in margine exarata ad textum pertinere, ac insuper hoc corollarium tantum adest in textu unius es manuseriptis , quia tandem hoc corollarium in subsequentihus nullum habet usum.

Definitio S sexti lihri eàdem manu in imâ pagina exarata est cnm signo quod monet eam ad textum pertinere: *#id manifestum est erravisse trans- criptorem. Eam suppressi, quia nullum in Euclidis Elementis usum habet. Robert Simson sex paginas in-4# scripsit probandi causa illam a Geometriaî i<maro in textum fuisse admissam.

Non plura dicam de lectionîbus meae editionis variantibus; lectori se certiorem facere licebit permulta evanuisse menda typegraphica , necnon et plurimos locos obscuros vel corruptos, vel detrnncatos, praesertim in libris 10, 14, i5, et in Dalis; Euclidisque textum permultis superfluita- tibus me curante fuisse expurgatum.

Dixi Euclidis in omnes linguas conversa fuisse opéra et commentariis illustrata; editiones et versiones nolabilissima? Euclidis ha? sunt :

Campanus primum in latinum ex arabico convertit Euclidem. Hoec versio Venetiis anno 1482 édita , comprehendit quindecim libros Ele- mentorum.

Zanibertus , venetus , ex graeco convertit in latinum quindecim libros Elementomm et Data Euclidis. Ha?c versio édita fuit Parisiis anno 1016, deinde Basiliae anno i53~ et anno i546. Euclidis Data adsunt tantum in duabas posterioribus editionibus.

PRÉFACE.

quoi il me sera permis de penser que ce manuscrit contient le texte purd'Eu- clide, et que les autres ne sont que des copies del'édition de Théon. J'avoue cependant qu'il existe quelques superfluités dans le manuscrit 190, et par conséquent dans mon édition; j'en donnerai la liste à la suite de mes remar- ques, c'est-à-dire, que je donnerai la liste de tout ce qui pent se supprimer sans nuire à ce qui suit.

J'ai «opprimé le corollaire de la proposition i5 du premier livre, quoi- qu'il soit écrit de la même main dans la marge du manuscrit 190, parce que ce corollaire n'est pas précédé du signe qui, dans ce manuscrit, sert toujours à indiquer que ce qui est écrit en marge doit faire partie du texte, parce que ce corollaire ne se trouve que dans le texte d'un seul manuscrit, et enfin , parce qu'il n'est d'aucun usage dans la suite.

La définition 5 du sixième livre est écrite de la même main au bas de la page, et avec le signe qui indique qu'elle doit faire partie du texte; mais il est hors de doute que c'est une faute du copiste. Je l'ai supprimée, parce qu'elle n'est d'aucun usage dans les Éléments d'Euclide. Robert Simson a écrit six pages in-4° pour prouver qu'elle a été introduite dans le texte par un ignare en Géométrie.

Je n'en dirai pas davantage sur les variant esde mon édition; le lecteur pourra s'assurer lui-même qu'elle a fait disparaître un très-grand nombre de fautes tvpographiques , beaucoup de passages obscurs ou altérés, ou tronqués, sur- tout dans les livres 10, i4> i5, et dans les Données, et que j'ai purgé le texte d'Euclide d'un très-grand nombre de superfluités.

J'ai dit que les œuvres d'Euclide ont été traduites et commentées dans toutes les langues ; voici quelles sont les éditions- et les traductions les plus remarquables.

La première traduction latine que nous ayons d'Euclide est celle de Campanus, qui parut à Venise en 1482. Cette traduction , qui a été faite d'après l'arabe, contient les quinze livres des Éléments.

Zamberti, vénitien, traduisit en latin, d'après le grec, les quinze livres des Éléments et les Données d'Euclide. Celte traduction , qui parut à Paris en idi6, reparut à Râle en i537, et ensuite en i5^6. Les Données d'Eu- clide ne se trouvent que dans ces deux dernières éditions.

d

ttvj PR£FA T I O.

Textus grœcus quindecira librorum Elemcntorum Euclidis cum com~ mentario Theonis et Procli, primum editus fuit Basiliœ anno i533, apud Herwagem, celeberrimum typographum. Simon Grynœus textûs grœci fuit editor. Quindecim libri «Elementorum editi fuerunt ex duobus manu- scriptis qui Simoni Grynaeo suppeditati fuerunt, alter Venetiis a Lazaro Bayfio , alter Parisiis a Joanne Ruellio. Commenta ri um Procli editum fuit ex manuscripto inemendato qui Oxonià Simoni Grynœo missus fuit a Joanne Claymando.

Candalla edidit, anno i566, versionem latinam quindecim librorum Elementorum.

Commandinus unus optimorum geometrarum suae œtatis, et apprime versatus in linguâ grœcâ et latinà, convertit in latinum quindecim libros Elementorum ex textu grœco editionis basiliensis. Hœc versio , omnium Euclidis versionum , textui grœco erat maxime consentanea ; illa édita fuit Pisauri anno 1^72, et deinde anno 161 g.

Versio latina quindecim librorum Elementorum quam Clavius edidit Romae , anno 1 5»74 ? est qnam minime consentanea; Clavius sihi concessit facultatem commutandi in permultis locis texlum Euclidis ; sed nonnullo in pretio est commentarium quod suse versioni adjunxit, quamvisnimioplus sit diffusum.

Textus grœcus Datorum Euclidis , cum versione latinà Hardiœi , editus primum fuit anno 1625.

Henrion edidit, anno 161 5, versionem gallicam quindecim librorum Elementorum et Datorum Euclidis. Hœc versio a textu Euclidis differt singulis momentis.

Le Mardelé edidit , non multo post, alteram versionem gallicam quin* decim librorum Elementorum. Hase versio in permultis locis differt a textu Euclidis.

Gregorius edidit Oxoniae, anno 1703, grœceet latine, quindecim libros Elementorum et Data Euclidis. Gregorius usus fuit , in quindecim libris Elementorum, versione latinà Commandini, et in Datis, versione latinà Hardiœi : quas duas versiones Gregorius ipse recognoverat.

PRÉFACE. xxvij

Le texte grec des quinze livres des Eléments d'Euclide avec le com- mentaire de Théon et de Proclus, parut pour la première fois à Bàle en i533 , chez Herwage, célèbre imprimeur. Simon Grynœus en fut l'édi- teur. Les quinze livres des Eléments furent imprimés d'après deux manus- crits grecs envoyés à Simon Grynaeus; l'un de Venise, par Lazare Bayfius , et l'autre de Paris , par Jean Ruellius. Le commentaire de Proclus fut imprimé , d'après un manuscrit très-défectueux envoyé d'Oxford à Simon Crynaeus, par Jean Claymandus.

Candalle publia, en i566, une traduction latine des quinze livres des Éléments.

Commandin , un des plus grands géomètres de son temps , et homme très-versé dans les langues, traduisit en latin les quinze livres des Eléments d'après le texte grec de l'édition de Bàle. C'était, de toutes les traduc- tions, la plus conforme au texte grec d'Euclide ; elle parut à Pesaro en 1572, et ensuite en 1619.

La traduction latine des quinze livres des Eléments que Clavius publia à Rome, en iS"]^, n'est rien moins que fidèle ; Clavius s'est permis de faire de nombreux changements au texte d'Euclide 5 mais on estime le com- mentaire qui accompagne sa traduction , malgré sa très-grande prolixité.

Le texte grec des Données d'Euclide, accompagné d'une traduction latine de Hardi , parut pour la première fois en i6a5.

Henrion publia, en i6i5, une traduction française des quinze livres des Éléments, et des Données d'Euclide. Cette traduction diffère à chaque instant du texte d'Euclide.

Le Mardelé publia , quelque temps après, une nouvelle traduction des quinze livres des Éléments. Cette traduction diffère dans une foule d'en- droits du texte d'Euclide.

Grégori publia à Oxford , en 1703, en grec et en latin, les quinze livres des Éléments et les Données d'Euclide. Grégori fit usage , pour les quinze livres des Éléments , de la traduction latine de Commandin , et pour les Données , de celle de Hardi. Ces deux traductions avaient été revues par Grégori lui-même.

xxviij P R M F A T I O.

- In hâc editione, prœter quindecim libros Elementorum, et Data, adsunt plura opéra quœ procul dubio Euclidis non sunt; quod quidem Gregorius ipse non difïitetur in suâ praefatione.

Robert Simson edidit, anno 1756, versionem lalinam librornni 1, 2,3, 4, 5, 6, 11 , 12 Elementorum.

Robert Simson , in pluribus locis, commutavit textum Euclidis. Dixi in bibliothecà imperiali adesse manuscriptos graecos très et viginti. Eorum manuscriptorum secundum vetustatis ordinem hic est index :

3N° 190. Is manuscriptus prae se fert omnia indicia manuscriptorum sub finem noni saeculi exaratorum.Dataproxime sequuntur librum i3. Liber i4 et liber i-5 post Data collocati sunt; quod in nullo contigit alio manu- scripto. In meâ editione eumdem ordinem sum secutus, ipsomet D. La- grange suadente.

N° io38. Is manuscriptus, in quo deest initium Elementorum usquead propositionem octavam sccundi libri , ineunle undecimo saeculo exaratus videtur. Is manuscriptus , in quo deprebenduntur reliqua Elementa et Data, Romà Parisios fuit missus a comité de Peluse.

N° 2/1 66. Is manuscriptus , in quo deprebenduntur tredecim libri Elementorum, duodecimo saeculo exaratus videtur.

N° 2344- Is manuscriptus, in quo tantum deprehenduntur tredecim priores libri Elementorum , saeculo duodecimo exaratus videtur.

N° 2345. Is manuscriptus, in quo tantum deprehenduntur tredecim priores libri Elementorum, saeculo decimo tertio exaratus videtur.

Omnes ii manuscripti sunt membranacei ; subséquentes sunt carlacei.

N° 2373. Is manuscriptus, in quo deprehenditur Euclidis Geometria cum scholiis , saeculo decimo quarto exaratus videtur.

N° 2343. Is manuscriptus , in quo deest initium usque ad propositionem 23 primi libri, et in quo deprehenduntur quindecim libri Elementorum, et Data, sœculo decimo quarto exaratus videtur.

N° 2762. Is codex, in quo tantum deprehenduntur octo priores libri Elementorum , sub finem saeculi decimi quinti exaratus videtur.

■ N° 2346. Is codex , in quo tantum deprehenduntur tredecim priores libri Elementorum , sicculo decimo quinto exaratus videtur.

PRÉFACE. xxix

Dans cette édition , outre les quinze livres des Éléments, et les Données, on trouve plusieurs autres traités qui bien évidemment ne sont pas d'Eu- clide ; Grégori lui-même en convient dans sa préface.

Robert Simson publia , en 17^6 , la traduction latine des livres 1,2, 3, 4? 5,6, 11, 12 des Eléments d'Euclide. C'est la traduction de Com- mandin , revue par Robert Simson.

Robert Simson a fait de nombreux changements au texte d'Euclide.

J'ai dit que la bibliothèque impériale renferme vingt- trois manuscrits grecs. En voici la liste par ordre d'ancienneté :

N° 190. Ce manuscrit porte tous les caractères des manuscrits de la fin du neuvième siècle. Les Données sont placées immédiatement après le treizième livre des Eléments. Le i4e et le i5e livre viènent ensuite; ce qui n'existe dans aucun autre manuscrit de la bibliothèque impériale, .l'ai suivi le même ordre dans mon édition , d'après le conseil de M. Lagrange.

K° io38. Ce manuscrit, qui ne commence qu'à la proposition 8 du second livre, parait être du commencement du onzième siècle. Il contient le reste des Éléments, et les Données; il appartenait à la bibliothèque du Vatican; et il fut envoyé de Rome à Paris , avec le manuscrit 1 go , par le comte de Peluse.

N° 2466. Ce manuscrit, qui contient les treize premiers livres des Éléments , paraît être du douzième siècle.

N° 2344* Ce manuscrit, qui contient seulement les treize premiers livres des Éléments, paraît être du douzième siècle.

JN° 2345. Ce manuscrit , qui contient seulement les treize premiers livres des Éléments, paraît être du treizième siècle.

Tous ces manuscrits sont en parchemin ; les suivants sont en papier.

N° 2373. Ce manuscrit, qui contient la Géométrie d'Euclide avec des scholies , paraît être du quatorzième siècle.

N° 2342. Ce manuscrit, qui ne commence qu'à la proposition 23 du premier livre , et qui contient le reste des Éléments , et les Données, paraît être du quatorzième siècle.

ÎN° 2762. Ce manuscrit, qui ne contient que les huit premiers livres des Eléments , parait être de la fin du quinzième siècle.

N° 2346. Ce manuscrit, qui contient les treize premiers livres des Élé- ments , paraît être du quinzième siècle.

xxx P B. JE F A T I O.

N° 2481. Is codex, in quo tantum deprehenduntur decem priores libri Elementorum , sœculo decimo quinto exaratus videtur.

N° 253 1. Is codex, in quo tantnm deprehenduntur tredecim priores libri Elementorum, sœculo decimo quinto exaratus videtur.

N° 2343. Is codex, in quo deprehenduntur quindecim libri Elemento- rum sœculo decimo sexto exaratus videtur.

N° 2547* Is codex, in quo tantum deprehenduntur tredecim priores libri Elementorum, et Data, ineunte sœculo decimo sexto exaratus videtur.

N" 2448* Is codex, in quo Data deprehenduntur, sœculo decimo quarto exaratus videtur.

N0 2352. Is codex, in quo Data deprehenduntur, a J. JRossi fuit exaratus anno 1488.

N° 2363. Is codex , in quo Data deprehenduntur , sœculo decimo quinto exaratus videtur.

N* 2349- Is codex, in quo Data deprehenduntur, sœculo decimo sexto exaratus videtur.

JN° 235o. Is codex, in quo Data deprehenduntur, sœculo decimo sexto exaratus videtur.

N° 1981- Is codex, in quo Data deprehenduntur, sœculo decimo sexto exaratus videtur.

N° 2467. Is codex, in quo Data deprehenduntur, sœculo decimo sexto exaratus videtur.

N° 2472. Is codex, in quo Data deprehenduntur, sœculo decimo sexto exaratus videtur; sub finem nonnulla desiderantur.

N° 3366. Is codex, in quo Data deprehenduntur, sœculo decimo sexto exaratus videtur.

N° 2348. Is codex comprehendit Euclidis Data, collata cum quinque antiquissimis manuscriptis bibliothecae vaticanae , a Josepho Aurià , nea- politano, celebri geometrà saeculi decimi sexti decedentis.

Anno i8i4 currente editnrus sum versionem gallicam Diophanti opernm. Lectionei Variantes manuscriptorum bibliotheese imperialis cum editione 1670 , meam versionem sub- seqnentur. Imprimis usus sum rnanuscripto 238o graeco ctiatino, cujus initio légère est : Diophanti ^ilexandrini arithmeticorum libri sex , ejusdem de nwneris poljgonis libellus , Josepho Â.urid interprète ; cum antiquissimis vaûcanis codiciùus tribus sra^cis manu- scriptis diligentissime collati opéra et studio Jostphi Auriœ.

Mea versio conicorum Apollonii edetur anno i8i5 currente.

PRÉFACE. xxxj

N° 2481. Ce manuscrit, qui contient les dix premiers livres des Élé- ments, paraît être du quinzième siècle.

N° 253i. Ce manuscrit, qui contient les treize premiers livres des Éléments , paraît être du quinzième siècle.

*N° 2343. Ce manuscrit, qui contient les quinze livres des Éléments, paraît être du seizième siècle.

N° 2547- Ce manuscrit, qui contient les treize premiers livres des Élé- ments, et les Données , paraît être du commencement du seizième siècle.

N° 2448. Ce manuserit, qui contient les Données, paraît être du qua» torzièrne siècle.

N° 2352. Ce manuscrit, qui contient les Données, fut écrit par J. Rossi en 1488.

N° 2363. Ce manuscrit, qui contient les Données , paraît être du quin- zième siècle.

N° 2^49. Ce manuscrit, qui contient les Données, paraît être du seizième siècle.

IV s35o. Ce manuscrit , qui contient les Données , paraît être du sei- zième siècle.

N° 198 1. Ce manuscrit, qui contient les Données, paraît être du seizième siècle.

N° 2467. Ce manuscrit, qui contient les Données, paraît être du sei- zième siècle.

N° 2472, Ce manuscrit, qui contient les Données d'Euclide, paraît être du quatorzième siècle ; il manque quelque chose à la fin.

N° 3366. Ce manuscrit, qui contient les Données , paraît être du sei- zième siècle.

N° 2348. Ce manuscrit contient les Données d'Euclide comparées avec les cinq plus anciens manuscrits de la bibliothèque du Vatican, par Joseph Auria de Naples, célèbre géomètre de la fin du seizième siècle.

Je publierai dans le courant «le l'année j8ï4 une traduction française des œuvres de Diophante. Les variantes des manuscrits de la bibliothèque impériale , avec l'éditioa de 1670 , seront placées à la suite de ma traduction. J'ai fait principalement usage du manu- scrit 2Ji8o grec et latin. On lit en tète de ce manuscrit : Diophanti Alexandrin, aràhme~ ticorum libri sex , ejusdem de numeris polygonis libellus , Josepho Aurid interprète ; cum antiquissiinis vaticanis codicibus tribus grœcis manuscriptis diligentissime cotlati operd et studio Josephi Auriœ.

Ma traduction des coniques d'Apollonius paraîtra dan» le courant de l'année 181 5.

INSTITUT DE FRANGE.

Rapport de MM. Delambre et Pront, sur une édition grecque , latine et française des quinze livres des Eléments et du livre des Données d'Euclide , par M. Peyrard.

Ija classe avait déjà, sur le rapport de MM. Lagrange , Legendre et Delambre, donne' son approbation à une traduction complète des OEuvres qui nous restent d'Euclide ; M. Peyrard , auteur de ce travail , avait compare' tous les manuscrits grecs qui sont à la bibliothèque impe'riale , au nombre de vingt-trois. Il e'tait re'sulte' de cette comparaison qu'aucun de ces manuscrits n'est entièrement conforme à l'édition d'Oxford ; que cette e'dition , qui passe pour la meilleure , et qui est sans contredit la plus belle , n'est pourtant , quant au texte grec , qu'une copie de l'e'dition de Bâle , dont elle a reproduit jusqu'aux fautes les plus palpables ; que la plupart de ces ma- nuscrits offrent des variantes qui remplissent quelques lacunes , ou e'claircissent quelques passages de ces deux e'ditions principales ; qu'en ge'ne'ral cependant tous ces manuscrits diffèrent peu les uns des autres , et diffèrent beaucoup d'un manuscrit portant le n" 190 , qui provient de la bibliothèque du Vatican , d'où il fut envoyé' en France par M. Monge.

Ce manuscrit porte tous les caractères qui peuvent en attester l'ancienneté', tous les autres paraissent plus modernes ; M. Peyrard le croit de la fin du neuvième siècle. Mais cette date n'est pas son principal me'rite ; le texte y parait plus pur , plus clair , moins prolixe , et par-là même plus intelligible. C'est à ce manuscrit que M. Peyrard s'est principalement attaché , il en avait porté toutes les variantes aux marges d'un exemplaire de l'édition d'Oxford ; cet exemplaire et le manuscrit qui avait servi à le corriger , furent remis aux commissaires nommés par la classe ; ils vérifièrent les notes marginales de M. Peyrard ; ils y remarquèrent des addi- tions nécessaires , d'autres simplement utiles, des, suppressions qui n'étaient pas moins avanta- geuses , d'autres changements sur lesquels les avis pouvaient être partagés , quelques-uns même qui ne semblaient pas devoir être adoptés , et leur conclusion fut que la classe pouvait donner son approbation au travail de M. Peyrard ; que s'il n'était pas permis d'espérer une édition du texte grec purgé de toutes les fautes que les manuscrits pouvaient corriger , et enrichi de toutes les additions qu'ils pouvaient fournir , édition qui ne pouvait manquer d'être dispendieuse et qui demanderait beaucoup de temps , il était au moins à souhaiter que M. Peyrard ajoutât à sa traduction la liste des variantes qu'il aurait adoptées ou simplement recueillies , afin que les géomètres pussent corriger les éditions anciennes en attendant l'édition plus correcte qui pourrait faire oublier toutes les précédentes.

Ces conclusions adoptées par la classe inspirèrent un nouveau courage à M. Peyrard ; il entreprit l'édition grecque , latine et française , dont nous avons à rendre compte ; elle aura deux volumes in-40 ; le premier est achevé. Sur la demande de l'auteur , S. E. le Ministre de l'in- térieur, par sa lettre. du 20 novembre i8i3, invite la classe à examiner si Vouvrage est aussi exact que Fauteur a désiré le faire , si les leçons choisies sont en effet celles qui méritaient

XXXIV

d'être adoptées de préférence , enfin si le livre remplit bien toutes les conditions gui pouvaient être exigées.

La classe d'histoire et de littérature ancienne a e'te' en même temps invite'e à conside'rer la traduction sous le rapport du style et de. l'exécution ; S. E. prie les deux classes de vouloir bien , soit en particulier , soit en.se. réunissant , examiner le volume sous ces divers rapports.

Deux commissions ont e'te' nommées ; les deux rapporteurs choisis par elles ont eu plusieurs confe'rences ; ils se sont trouve's du même avis , et chacun d'eux s'attachera plus particulièrement aux objets qui sont de sa compe'teuce , en observant la ligne de démarcation tracée par S. E. le Ministre de l'intérieur.

L'ouvrage est précédé d'une préface , où l'éditeur rend compte des recherches qu'il a faites , des secours qu'il s'est procurés , du système qu'il a suivi ; cette préface est en deux langues , nous n'en examinerons ici que les idées.

Ce qu'on sait sur la personne d'Euclide se réduit à bien peu de chose, mais son ouvrage jouit de la plus grande réputation. On convient assez généralement qu'Euclide n'a fait que rassembler et mettre en ordre les théorèmes trouvés par les géomètres qui étaient venus avant lui; peut-être a-t-il augmenté le nombre de ces théorèmes , il se peut qu'il en ait perfectionné les démons- trations ; cependant quelques auteurs attribuent ces démonstrations à Théon , l'un des plus anciens et plus célèbres commentateurs des Eléments. Proclus , qui nous a laissé quatre livres de com- mentaires sur le premier livre d'Euclide , dans une longue liste de tous les grecs qui se sont distingués dans les mathématiques , en cite quatre qui avaient composé des éléments avant Euclidc. Le premier est Hippocrate de Chios , célèbre encore aujourd'hui par ses Lunules ; le second est Léon , dont l'ouvrage était plus plein , plus utile que celui de son prédécesseur ; le troisième est Theudius de Magnésie , que Proclus loue pour l'ordre qu'il a mis dans la rédaction ; après Léon vient Hermotime de Colophon , qui , perfectionnant les découvertes d'Eudoxe et de Thaetète , mit aussi beaucoup du sien dans les éléments ; peu de temps après vint Euclide , qui , suivant le témoignage de Proclus , rassembla les éléments , mit en ordre beaucoup de choses trouvées par Eudoxe , perfectionna ce qui avait été commencé par Thœtète , et démontra plus rigou- reusement ce qui n'avait encore été que trop mollement démontré avant lui. Euclide vivait sous le premier des Ptolémées , car Archimède le cite dans son premier livre ; il avait fait beaucoup d'autres ouvrages remarquables par leur admirable exactitude et pleins de théories savantes. Proclus cite particulièrement son optique , sa catoptrique , ses éléments de musique , et enfin , son livre des diaerèses , huifiatm ; mais ce qu'il admire surtout c'est le livre des éléments , tant pour l'ordre que pour le choix des théorèmes et des problèmes , qui méritent véritablement le nom SU élémentaires : il est à remarquer que Proclus ne dit rien des données , et qu'il n'a pa* nommé Théon. -,

Ce passage que nous traduisons fidèlement , et dont Grégori dans sa préface avait seulement extrait quelques lignes , semble décisif; aussi l'idée de ceux qui voulaient dépouiller presque en- tièrement Euclide en faveur de Théon , a-t-elle été vivement combattue par Butéon et Savilius ; Robert Simson en se rangeant à leur avis , le modifie d'une manière qui le rend encore plus favorable à Euclide. Par une espèce de superstition , excusable dans un traducteur , il a l'air de poser comme un axiome qu'il est impossible qu'Euclide se soit jamais trompé , ou qu'il ait eu la moindre distraction. Ainsi quand il est obligé de reconnaître qu'une définition n'est pas assez

v XXXV

juste , qu'une démonstration est incomplète ou peu rigoureuse , il en rejeté assez durement la faute sur Théon ou quelque autre commentateur , qu'il accuse nettement d'ineptie ou au moins d'ignorance en mathématiques. Le nouveau traducteur , sans s'e'loigner beaucoup de cette manière de voir de Simson , est au moins plus mode're' dans les termes ; et pour rejetter plusieurs chose* qui ve'ritablement paraissent peu dignes d'Euclide , il a , ce qui manquait à Simson , l'autorité' d'un bon manuscrit , dans lequel les passages dignes de censure se trouvent omis ou corrige's.

Cette pre'vention en faveur de son auteur , et la supe'riorite' du manuscrit du Vatican sur tous les autres , ont fait penser à M. Peyrard , que ce manuscrit pourrait bien être le ve'ritable texte d'Euclide, tandis que tous les autres, et en particulier ceux qui ont servi à l'e'dition de Bâle ou

d'Oxford , seraient les e'ditions donne'es par The'on , oh par les commentateurs venus après lui

En avouant que nous n'avons aucun argument bien pe'remptoire pour rejeter la conjecture de

M. Peyrard, nous dirons pourtant qu'elle ne nous paraît pas suffisamment établie

Nous n'attribuerons donc pas à The'on toutes les différences qui se trouvent entre les manuscrits plus modernes et le manuscrit du Vatican ; nous ne dirons pas que ce manuscrit soit le texte ve'ritable d'Euclide , car alors il faudrait attribuer à Euclide les mauvaises leçons que M. Peyrard a justement rejete'es de son e'dition pour suivre ou les autres manuscrits ou les e'ditions de Bâle et d'Oxford. N.ous ne dirons pas même que The'on soit de'cide'ment l'auteur de la définition condamnc'e par Simson ; il est vrai que The'on la développe et l'explique dans son commentaire sur l'Almageste ; mais il la rapporte sans pour cela s'en de'clarer l'auteur , au lieu que dans un autre endroit il donne formellement comme de lui le the'orème concernant les secteurs , qu'il dit avoir de'montre' dans son explication d'Euclide , car c'est ainsi que pour e'viter l'e'quivoque nous traduisons le mot vtïitu , qu'on traduit communément par le mot édition.

Nous n'accuserons point Théon d'avoir supprimé des démonstrations rigoureuses , pour en substituer d'autres qui ne prouvent rien ou qui sont inintelligibles. Nous admettrons aisément que Théon a pu commettre quelques fautes par inattention , mais non qu'il ait été assez ignorant pour ne sentir ni le mérite d'une bonne démonstration , ni les défauts de celles qu'il mettait à la place. Au reste , ce reproche que nous avons l'air d'adresser à M. Peyrard , va bien plus justement à Simson , dont la préface toute entière roule sur cette idée ; et d'ailleurs nous sommes loin de donner trop d'importance à l'opinion d'un commentateur sur la source des erreurs avouées qu'il s'agit de rectifier. Que ces erreurs viènent d'Euclide lui-même ou de l'un de ses commen- tateurs , ou , ce qui souvent est plus probable , qu'elles viènent des copistes , rien n'est plus indifférent ; pourvu que le nouvel éditeur les -corrige bien , il aura rempli sa tâche j et s'il peut prouver que ses corrections sont appuyées du témoignage d'un ancien manuscrit , on n'a rien de plus à lui demander.

Ce qui distingue les Eléments d'Euclide , ce sont moins les théorèmes eux-mêmes , ou l'ordre

dans lequel il les a fait dériver les uns des autres , que la manière dont il les a démontrés

Le mérite principal est dans la marche rigoureuse qu'il a suivie dans toutes ses démonstrations j on pourrait dire cependant que cette méthode même a trouvé plus de preneurs que d'imi- tateurs

Mais sans nous déclarer exclusivement les admirateurs d'une manière passée de mode , nous dirons que cette manière a des avantages précieux , en même temps qu'elle a des inconvénients graves ; qu'elle forme un langage aujourd'hui peu connu et qui mérite de l'être d'avantage j qu'eu

XXXTJ

la voyant appliquée par Euclide à des théorèmes assez simples , on pourra devenir en e'tat de suivre plus facilement les démonstrations plus longues et plus obscures d'Apollonius et d'Ar- chimède; que cette e'tude sera du moins un exercice utile pour s'habituer à la rigueur des dé- monstrations dont on n'est que trop dispose' à se relâcher. On ne serait écouté de personne aujourd'hui si l'on proposait de commencer l'étude des mathématiques dans Euclide ; mais on dira une chose vraie en assurant que tout géomètre fera très -bien de lire une fois en sa vie Euclide en entier , pour avoir une idée nette de ce genre de démonstrations , et se mettre en état de l'employer dans l'occasion.

Ces réflexions prouvent l'utilité de l'entreprise formée par M. Peyrard. Aujourd'hui que l'étude du grec commence à refleurir dans l'Université impériale, il est à croire que peu- de géomètres désormais se refuseront la satisfaction de lire Euclide , Archimède , Apollonius , Diophante dans leur langue. Il ne faut pas avoir fait une longue étude du grec pour entendre ces auteurs , qui ne sont pas plus difficiles que les fables d'Ésope , et bien moins , certainement , que les dialogues de Lucien , ou les vies de Plutarque , qu'on met entre les mains des enfants. Euclide surtout est d'une grande simplicité , ses phrases sont courtes , elles offrent peu d'inversions , on n'y voit pas une réflexion , pas un raisonnement grammaticalement compliqué ; les mêmes expressions reparaissent à chaque instant j le vocabulaire n'est que trop borné , et les termes techniques que l'on y rencontre ne paraissent jamais sans avoir été préalablement définis.

L'intelligence du texte grec sera rendue plus facile encore par le système que M. Peyrard a suivi dans sa traduction latine. Partout il lui a donné la même fidélité qu'aux traductions interlinéaires des ouvrages qui servent à la première instruction. Les termes correspondants se suivent dans le même ordre dans les deux langues. Il n'est pas jusqu'aux articles qui manquent au latin, que le traducteur n'ait tenté de reproduire, par l'emploi continuel du pronom ipse , îpsius , etc., pour marquer les cas obliques des lignes , des angles , des figures , désignés en grec par des lettres indé- clinables. Ces mots subsidiaires dont la répétition continuelle a quelque chose de fatigant, auraient pu être évités , sans doute , en les remplaçant parfois par les mots recta! , anguli , arcus , ou tels autres qui n'auraient guères été plus longs ; mais M. Peyrard est suffisamment excusé par l'exemple des traducteurs qui l'ont précédé , et même par celui des géomètres modernes qui ont écrit en latin. D'ailleurs , la traduction latine est moins destinée à être lue de suite , qu'à faciliter l'in- telligence du texte grec ; et ceux qui y trouveraient trop de difficulté pourront se borner à la traduction française qui est au bas de chaque page ; outre le secours qu'il trouvait dans nos arti- cles indéfinis , l'auteur n'a pas fait scrupule d'y introduire ces mots ligne , angle , etc. , que nom regretions tout-à-1'heure de ne pas trouver dans le latin. Cette licence est la seule qu'il ait prise ; à cela près , le français est presque aussi littéral que le latin ; on serait tenté quelquefois d'en faire un reproche au traducteur ; mais la phrase d'Euclide est si simple , qu'il n'y a guères deux manières de la traduire , à moins de prendre des libertés qui , sans avantages bien réels , chan- geraient tout-à-fait le style de la démonstration.

Il nous reste à parler des variantes qui assurent à la nouvelle édition du texte une supériorité marquée sur les éditions précédentes , ltsquelles d'ailleurs commencent à devenir un peu rares.

La première de ces variantes est celle qui place parmi les demandes trois propositions , que les éditions précédentes avaient rangées parmi les notions communes. Tous les auteurs qui ont depuis reproduit ces propositions se sont crus obligés de les démontrer; Euclide qui s'en est

xxxvij

dispensé , n'a pu cependant les regarder comme des vérités évidentes , mais seulement comme des principes qu'on pouvait lui accorder et qui lui e'taient indispensables pour établir sa doctrine. Il faut convenir pourtant que ces trois demandes sont d'un genre tout différent des trois précé- dentes. En effet , il faudrait être d'un esprit bien difficile pour nier à Euclide la possibilité de mener une droite d'un point donné à un point donné , de prolonger une droite donnée , ou de décrire un cercle d'un centre et d'un rayon donnés. Mais on pourrait lui demander la preuve que tous les angles droits sont égaux , que deux lignes droites ne peuvent renfermer un espace , et surtout que deux droites se couperont nécessairement si on les prolonge suffisamment du côté où elles forment sur" une autre droite deux angles dont la somme est moindre que celle de deux angles droits.

L'édition de Paris est conforme à tous les manuscrits de la Bibliothèque impériale , si ce n'est que le n° 2545 place parmi les notions communes la troisième des propositions dont nous venons de parler, et que les n°s 2346 et 2481 la placent tout à la fois , et parmi les demandes et parmi les notions communes. L'édition de Paris est encore conforme à l'édition arabe , à la traduction latine de Campan , faite d'après l'arabe , et à la traduction latine de Zamberti , faite d'après le texte grec , avant l'édition de Bàle ; Proclus , qui a démontré d'une manière très-simple que tous les angles droits sont égaux , place parmi les demandes , les deux premières propositions , et la troisième parmi les notions communes ; Boéce , qui a supprimé la troisième , place aussi les deux autres parmi les demandes. Tout porte donc à croire que Simon Grynœus , qui est l'auteur de l'édition de Bàle , jugeant ces trois propositions déplacées , changea les accusatifs en nominatifs , les infinitifs en indicatifs , pour reposer ces propositions à une place qu'il jugeait plus convenable. Quoi qu'il en soit , nous croyons M. Peyrard plus qu'autorisé à la leçon qu'il a adoptée de préférence.

La proposition 7 du premier livre a plusieurs cas ; un seul cependant est énoncé et démontré dans tous les manuscrits. Clavius a senti la nécessité de nouveaux développements , il y consacre cinq figures et donne cinq démonstrations , qu'il pouvait réduire à trois ; Simson donne double démonstration et double figure , et la seconde est prise dans Clavius. M. Peyrard qui ne voyait dans les manuscrits qu'une seule figure et qu'une seule démonstration , pouvait dire tout simple- ment qu'Euclide avait eu un moment de distraction ; il pouvait compléter la démonstration dans une note. Il a voulu sauver Euclide de tout reproche ; en empruntant comme Simson , une figure à Clavius , et prolongeant deux lignes dans la figure d'Euclide , il a fait que la démonstration l'Euclide s'applique à la fois aux deux figures et aux deux cas qui renferment tous les autres. Ainsi la démonstration s'est trouvée complète sans y changer un seul mot , dit M. Peyrard , et cela est vrai ; mais dans la préparation il a été obligé d'ajouter une ligne qu'il a enfermée entre deux crochets , parce qu'elle ne ne se trouve dans aucun manuscrit ; il serait assez difficile d'imaginer comment les copistes auraient non - seulement omis une figure toute entière , mais encore les deux prolongements de la première figure , et enfin la ligne du texte qui explique ces prolongements ; ce n'est donc pas ici une variante que M. Peyrard porte dans le texte , c'est une véritable correction faite à un passage incomplet , mais du moins il l'a faite dans les moindres termes , et c'est par dévouement à son auteur qu'il se borne au mérite d'avoir retrouvé la véri- table leçon.

La proposition 24 du livre III , a trois cas ; les éditions grecques n'en démontrent qu'un seul , Commandin dans sa traduction démontre les deux autres : Clavius développe la proposition , il y

XXXVUJ

emploie cinq figures ; Simson retranche une partie de la proposition qu'il reporte à la précédente* à l'aide de son manuscrit M. Peyrard remplit la lacune.

Dans la proposition 26 , la variante (3) e'clarcit la démonstration , elle est donc utile ; M. Peyrard a bien fait de l'introduire dans le texte. Tous les traducteurs en avaient senti la ne'cessité, le ma- nuscrit a légitime' leurs conjectures.

Le corollaire de la proposition 19 du livre V a paru si corrompu, que Gregori s'est cru obligé de le changer pour y donner un sens raisonnable. Clavius lui en avait donne' l'exemple. Robert Simson , avec son aménité' ordinaire , dit que tout ce livre V a été corrompu par des ignares en

géométrie

Le manuscrit est absolument semblable à l'édition d'Oxford , c'est par des changements assez légers que M. Peyrard l'a rendu plus intelligible ; mais ces changements nécessaires ne sont auto- risés par aucun manuscrit ; il lui donne ensuite la forme d'un théorème, et le démontre directement d'une manière assez courte dans sa préface.

Dans la dernière proposition du livre VI , ce qui regarde les secteurs circulaires paraît une addition de Théon , qui en 'réclame formellement la démonstration à la page 5o de son com- mentaire sur Ptolémée. Cet article ne se trouve pas dans le manuscrit du Vatican , et M. Peyrard se reproche de ne l'avoir pas retranché de son édition , par la raison qu'il n'est d'aucun usage dans tout ce qui suit ; mais puisque ce théorème est vrai ,/nous croyons le scrupule exagéré. Pour qu'un théorème soit admis dans un livre d'éléments , il n'est pas bien nécessaire qu'il serve à

démontrer un théorème subséquent Cet article des secteurs a cependant trouvé grâce aux

yeux de Simson, qui en ignorait probablement le véritable auteur, ou qui n'a pas vu dans le passage de Théon une preuve bien sûre qu'Euclide n'eût pas donné lui-même ce théorème.

Le traducteur continue de donner les raisons pour lesquelles il a rejeté du texte plusieurj variantes qu'il discute. Ces raisons sont assez plausibles , mais quand on ne les admettrait pas , comme les leçons rejetées se retrouvent à la fin du volume, personne n'aurait à se plaindre j on sait qu'en pareille matière les éditeurs les plus estimables sont rarement du même avis.

Après avoir examiné la préface , nous aurions à passer en revue les variantes que l'auteur , soit en les admettant , soit en les rejetant , n'a pas jugées assez importantes pour leur consacrer un article particulier ; mais cet examen serait beaucoup trop long , nous nous bornerons à celles qui pourront nous fournir quelque remarque ; nous laisserons toutes celles qui nous ont paru ou indifférentes ou bien placées , soit qu'elles se trouvent dans le texte ou qu'elles soient à la fin du volume.

Dans la définition i5 du livre I", l'éditeur, d'après plusieurs manuscrits, a reçu dans le text» les mots w{of tiJ» tïu xÛkMv irtfiÇtpûx» , qui nous paraissent un double emploi, une glose fort inutile des mots irpôs h qui se trouvent deux lignes plus haut.

L'éditeur a marqué par des titres les différentes parties dont se compose la première propo- sition. Ces dénominations qui nous ont été conservées par Proclus , et qui sont exposition , déter- mination , construction , démonstration et conclusion , paraissent une pédanterie de commen- tateur , et le nouvel éditeur a bien fait de ne les employer qu'une seule fois pour exemple.

Il a rejeté parmi les variantes le corollaire de la proposition XV, qui dit que la somme des angles autour d'un même point est toujours égale à quatre angles droits. Sa raison est qu'il manque dans la plupart des manuscrits , et que dans les autres il est écrit d'une main étrangère. Il nous

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semble qu'on aurait pu le conserver, à l'exemple de Simson. S'il n'est pas d'Eudide, s'il est im- plicitement renferme' dans ce qui précède , il a le mérite d'être court , et de contenir une re- marque qui aurait pu échapper à quelques lecteurs. Il aurait pu , sans inconvénient , conserver quatre mots qu'il a retranchés de la proposition XX ; à la vérité, ils n'étaient pas bien nécessaires , mais ils paraissent dans la manière d'Euclide. Dans la proposition XXII , au contraire , il a rétabli dans le manuscrit deux lignes qui ne gâtent rien , mais dont on pouvait se passer.

Dans la proposition XXVI , l'addition faite ( 1 5 ) était nécessaire , quoique dans le manuscrit elle fût écrite en marge et d'une autre main ; elle se trouvait déjà dans l'édition d'Oxford.

Dans la proposition XXVII, la leçon du manuscrit est plus concise et suffisante; celle d'Oxford est plus développée et plus dans la manière d'Euclide. On peut en dire autant de la proposition XXVIII. La leçon nouvelle de la proposition XXIX a le mérite de la brièveté.

A la proposition XXXI , l'éditeur s'est écarté de son manuscrit pour se conformer à l'édition d'Oxford ; il a cru parfaitement inutiles les mots qu'il supprimait : il y a dans tous ces choix un peu d'arbitraire, et nul inconvénient. Ainsi à la proposition XXXIV, le mot %aflo> ajouté à ar«p«AAi»Aoyp<*i«^«» n'était nullement nécessaire; mais en le rétablissant, on a rendu l'énoncé plus conforme à. celui de la proposition. A la proposition XXXVII, le retranchement autorisé par le manuscrit n'a aucun inconvénient : on fait toujours bien quand on retranche des mots inutiles; la démonstration y gagne toujours , car celles des Grecs sont toujours un peu longues.

A la fameuse proposition XLVII ( le carré de l'hypoténuse ) , on trouve une faute qui ne peut échapper au lecteur, et dont nous n'aurions pas fait mention, si elle ne se trouvait dans les trois langues : c'est un AA au lieu de BA.

Dans le livre II, proposition VIII, on serait tenté de regarder comme inutiles les quatre lignes introduites d'après le manuscrit ; mais dans la proposition IX , on a très-bien fait d'introduire ces mots et elles sont égales, qu'on était obligé de sous -entendre. La variante (12) de la même proposition est préférable à la leçon d'Oxford, qui pourtant revient à peu près au même; car si les carrés sont égaux , les racines ou les côtés le sont nécessairement.

Le manuscrit avait, dans la proposition X, une faute évidente, qui n'était ni dans l'édition d'Oxford , ni dans celle de Bâle.

. Dans le livre III, définition 2, l'éditeur a bien fait d'ajouter, d'après le manuscrit, les mots î*-< fttiftTifx fetfi ; mais il a oublié de les traduire en français.

Dans la proposition VIII, l'éditeur a bien fait de suivre l'édition d'Oxford plutôt que le manuscrit ; la longue variante n'offre rien de bien intéressant

Dans la proposition XIII on a ajouté , d'après le manuscrit , deux mots qui étaient si nécessaires, que Gregori les avait traduits; quoiqu'ils ne fussent pas dans le texte.

Dans la proposition XXIV, le manuscrit et l'édition nouvelle présentent un sens moins incomplet : il y manque pourtant encore quelque chose , mais le sens ne peut être douteux.

La variante (6) de la proposition XXXVII , est certainement une amélioration.

Livre IV , au corrollaire de la proposition V, la correction tirée du manuscrit est bonne ; la leçon d'Oxford était défectueuse ; cependant le sens était visible.

Livre V , proposition IV , l'éditeur a rétabli d'après le manuscrit deux mots qui manquaient , et que Simson avait jugés indispensables. Il y a ensuite , dans le manuscrit , trois lignes que 'éditeur a bien fait de ne point admettre dans son texte.

xl

Proposition V, la variante (i) était nécessaire.

Proposition VII , l'éditeur n'a point inséré dans le texte un corollaire qui contient une propo- sition vraie , utile , et qui manque à ce livre , mais qui ne peut se conclure de la proposition pré- cédente : il ne se trouve dans aucun manuscrit , si ce n'est celui du Vatican. Simsou a donné à part cette proposition, qu'il a marquée de la lettre B. Dans la manière moderne de traiter les proportions, ce théorème est évident; il suffira d'en trouver l'énoncé parmi les variantes; mais il pouvait figurer dans le texte , avec une note.

A la proposition VIII, les sept lignes ajoutées d'après le manuscrit améliorent la démonstration sans la rendre encore bien claire. Simson avait raison de la trouver incomplète ; mais il avait probablement tort d'en rejeter la faute sur Théon. Au reste, la proposition en elle-même est si simple, qu'on serait tenté d'en faire un axiome; et de là vient peut-être la difficulté de la démontrer à la manière des anciens. Il y avait dans l'édition d'Oxford une faute de grammaire, un indicatif pour un infinitif; cette faute a été corrigée d'après le manuscrit.

A la proposition XXI, variante (3 ) , la leçon d'Oxford était tronquée; on y ajoutait une explication qui paraît avoir été une note marginale, qui depuis aurait passé dans le texte. La leçon rend la glose inutile; ainsi le passage devient à la fois et plus court et plus clair.

A la proposition XXIII, on trouve une longue variante fournie par quatre manuscrits. Elle est préférable à la leçon d'Oxford. Simson a refondu la démonstration , et dans ses notes il critique vivement les interprètes qui l'ont précédé. Sa démonstration n'est pas non plus d'une grande clarté. Le théorème est un de ceux qu'on n'explique nulle part, et qu'on applique sans le connaître. II suffit de l'écrire algébriquement pour en sentir la justesse. Cette espèce de traduction est en général le moyen le plus sûr pour juger les démonstrations des divers éditeurs; mais alors, si on les rend plus claires , on aperçoit en même temps qu'elles sont longues et peu naturelles.

Au livre VI , l'éditeur a supprimé la 5e définition , parce qu'elle n'est pas dans son manuscrit. Elle pourrait être de Théon; c'est celle que Simson a si vivement critiquée. La meilleure raison, c'est qu'elle est à peu près inutile , et qu'elle n'est point assez correcte. C'est la définition de la raison composée.

Dans la proposition II , l'éditeur a supprimé deux fois le mot *epcé*Xti\tf qui n'est pas dans le manuscrit , et qui est de trop dans les imprimés. Aytit ■xafà signifie chez les Grecs ce que nous exprimons par mener parallèlement. On voit donc que le mot parallèle devient inutile. Deux lignes sont parallèles quend elles sont à côté l'une de l'autre sans jamais se couper; c'est ce que signifie wttfà chez les géomètres grecs.

Dans la proposition III, l'éditeur a rétabli quelques articles qui manquaient, et adopté quelques variantes qui , sans être bien importantes par le sens , rendent la phrase plus correcte.

A la proposition X , il y avait dans l'édition d'Oxford une répétition inutile , occasionnée par l'insertion d'une phrase également superflue. L'éditeur, d'après quatre manuscrits, a donné une leçon plus courte et plus exacte.

A la fin de la deuxième démonstration de la proposition XIV , on a supprimé, d'après le ma- nuscrit , quatre lignes qui formaient une glose peu nécessaire.

La proposition XXI avait un double emploi plus sensible , que le manuscrit a fait supprimer.

A la proposition XXII , le manuscrit a fourni deux développements utiles , qu'on pouvait cependant sous -entendre.

Il]

A la proposition XXVI, les éditeurs de Bàle et d'Oxford offraient un texte altéré, une figure mal faite. Clavius avait change' la démonstration et substitue' deux figures à la figure unique du texte. Le manuscrit a fourni un texte correct et une figure exacte. Simson, en conservant la figure , avait change' le texte pour l'y faire cadrer. Sa correction e'tait bonne , mais rien ne l'appuyait. Il est à croire que la nouvelle e'dition offre la ve'ritable re'daction d'Euclide.

A la proposition XXVII, rr,* était une faute d'impression dans l'édition d'Oxford.

Livre VII. C'est le premier de ceux qui sont omis dans les éditions communes d'Euclide ; il Iraite des nombres. La définition de l'unité ne signifie pas grand chose en grec, et ce défaut est bien plus sensible en latin et en français , où. les mots un et unité ont une ressemblance que n'ont pas les mots monade et un; fttiùs et c.

L'éditeur a rétabli, d'après le manuscrit, la définition du nombre impairement pair qui manquait évidemment, quoiqu'on pût la supposer comprise dans celle du nombre pairement impair qui précède.

A la proposition X, on trouve une addition utile.

A la proposition XIX , <J~t vréfou pour rirâfrcu , était dans l'édition d'Oxford une faute prise dans celle de Bâle, et d'autant plus étonnante dans celle-là, qu'elle était corrigée dans la traduction.

A la proposition XXIII , la première variante a le mérite de plus de brièveté , la seconde celui de plus de justesse.

Nous sentons plus que personne combien ces détails sont arides et minutieux. Nous avons dû les rapporter pour donner à la Classe la preuve du scrupule avec lequel nous avons fait l'examen dont elle nous avait chargés. Notre conclusion sera que , nonobstant quelques fautes d'impression" dont nous ajouterons ici la liste (i) , qui étaient presque inévitables dans une entreprise de ce genre , et qui d'ailleurs sont bien moins nombreuses que celles de la belle édition d'Archimède , imprimée à Oxford, l'ouvrage est exact , non pas sans doute autant que l'auteur aurait désiré le faire, mais autant qu'il était possible de l'espérer; que les leçons choisies sont en général celles qui méritaient la préférence. Si quelquefois à cet égard nous nous sommes trouvés différer de sentiment avec l'éditeur, nous n'oserions assurer que nous ayons toujours raison; et ceux qui se trouveraient de notre avis auraient toujours la ressource de consulter la table des variantes ; ainsi l'inconvénient , s'il en existe , est extrêmement léger. Nous dirons que V ouvrage remplit bien toutes les conditions qui pouvaient être exigées , et que l'édition est évidemment supérieure à toutes celles que nous connaissons.

Fait à Paris, le 21 février 1814.

Signé PRONY et DELAMBRE; rapporteur.

Certifié conforme à l'original.

Le Secrétaire perpétuel , Chevalier de l'Empire ,

%ne'DELAMBRE.

(1) Cette liste est imprimée à la fin do volume.

Xlij

INSTITUT DE FRANCE.

CLASSE D'HISTOIRE ET DE LITTÉRATURE ANCIENNE.

, Paris, le a6 Février i8i4-

Le Secrétaire perpétuel de la Classe , à Son Excellence le Ministre de

Vintérieur.

■

iMoNSIEUR LE COMTE,

Les Eléments d'Euclide ne renfermant que des définitions et des propositions de ge'ome'tric , sont essentiellement du ressort de la Classe des Sciences physiques et mathe'matiques , et sont entièrement e'trangers , pour le fonds , au genre des travaux de celle d'histoire et de littérature ancienne. Cette Classe cependant , pour re'pondrc , autant qu'il est en elle , au témoignage de confiance que Votre Excellence a juge' à propos de lui donner en la consultant sur le mérite du travail de M. Peyrard , s'est empresse'e de l'examiner sous le petit nombre de rapports qui la concernent et sur lesquels elle peut avoir une opinion motive'e. Le compte que M. Delambre rendit il y a quelques années à la première Classe de la traduction française d'Euclide , et celui qu'il vient de lui rendre de l'édition du texte et des traductions latine et française dont il est accompagné , ainsi que de l'ensemble du travail de M. Peyrard , présentent les détails les plus intéressants qui supposent un examen très-approfondi de ce travail sous le rapport littéraire et sous celui de la science , et font connaître suffisamment ce qu'on doit en penser.

La classe d'histoire a donc cru devoir se borner à soumettre à Votre Excellence quelques observations générales sur la partie littéraire de l'ouvrage , et sur la manière dont il est exécuté.

Le texte d'Euclide lui a paru plus correct dans la nouvelle édition que dans les éditions anté- rieures ; cependant elle pense que celle qui fut publiée à Bàlc en i535 , par Simon Grynceus , malgré quelques fautes d'impression , moins nombreuses qu'on ne le croit communément , et faciles à corriger, sera toujours précieuse aux amateurs de la langue grecque.

La partie typographique est en général soignée dans l'édition de M. Peyrard : il s'y est néan- moins glissé quelques fautes d'impressiou , surtout vers la fin du volume.

En comparant le texte grec de cette édition avec celui des éditions précédentes , on y re- marque quelques différences. Les plus essentielles ont été relevées et appréciées dans le rapport fait à la première Classe , qui constate encore que l'éditeur a rempli heureusement plusieurs lacunes avec le secours des manuscrits

Les deux traductions jointes au texte sont très-littérales ; peut-être même la traduction française l'est-elle trop.' Cette manière de traduire mot à mot peut être bonne pour une version latine , dans laquelle on cherche plutôt l'exactitude et la fidélité que l'élégance , et dont quelques per- sonnes peuvent avoir besoin pour entendre le texte ; mais il semble que la traduction française aurait dû être faite avec un peu plus de liberté (i).

J'ai l'honneur de faire repasser à Votre Excellence l'ouvrage de M. Peyrard qu'elle m'avait envoyé, et de lui renouveler l'hommage de mes sentiments les plus respectueux.

Signé D ACIER. Certifié conforme à l'original ,

Signé BARBIER DE NEUVILLE, chef de la "5°" divion du Ministère de l'intérieur.

(1) Vojez le rapport de M. Delambre, page 36, alinca trois

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"J

INSTITUT DE FRANCE.

Paris , 14 août iSog-

Rapport de MM. Lagrange, Legendre et Delambre, sur une traduction complète des quinze livres des Eléments , et des Données d'Euclide, par M. Peyrard.

I ii Classe a déjà donné son approbation a une traduction d'Euclide, par M. Peyrard. A l'exemple de presque tous les éditeurs qui l'ont précédé , il avait omis les livres qui traitent des Quantités numériques , les trois derniers livres , et le livre des Données ; mais il avait annoncé dès-lors une traduction complète. Le désir de lui donner toute la perfec- tion possible lui a fait consulter tous les manuscrits de la bibliothèque royale

Dépositaire de ces précieux manuscrits, M. Peyrard les a comparés soigneusement avec l'édition grecque d'Oxford; il a noté en marge de l'imprimé toutes les variantes, les a tra- duites en latin ; et c'est sur ce texte rectifié qu'il a composé sa version , qui est aussi littérale que l'a permis le génie des deux langues.

Il a fait principalement usage du n° 190, qu'il nous a remis pour que nous pussions examiner son travail , et vérifier toutes les variantes dont il a enrichi les marges de son exemplaire de l'édition d'Oxford. Nous avons fait cette vérification , et nous avons reconnu partout la plus grande conformité avec le manuscrit.

Ces variantes , comme on peut s'y attendre, ne sont pas toutes de la même importance, et ne méritent pas toujours la préférence sur les leçons imprimées. Parmi ces variantes, il en est qui consistent en quelques mots omis dans les imprimés , dont les traducteurs avaient senti la nécessité , et que Grégori a fait entrer dans son texte , en les enfermant entre deux crochets; quelquefois c'est un présent au lieu d'un futur; 'irrut au lieu de \<nit , ou réciproquement ; le mot JW au lieu de • «iriç , égal, pour le même ; des expressions plus ou moins conformes au style ordinaire des géomètres , ou d'Euclide en particulier. Toutes ces variantes n'auraient de valeur qu'aux yeux des philologues et des érudits ; mais il en est de vraiment dignes de l'attention des géomètres, en ce qu'elles changent en mieux le sens, ou qu'elles donnent un sens raisonnable à ce qui n'en présentait aucun. Ce sont des superfluités élaguées, des lignes entières omises dans les imprimés , et qui sont ou absolument nécessaires à la démonstration, ou y portent au moins des développe- ments utiles. D'autres fois on y rencontre des leçons plus concises, et qui présentent un sens tout aussi clair ; des transpositions qui rendent parfaitement intelligible ce qui parais- sait obscur ou peu exact. La définition 5e du VIe livre, qui se trouve dans toutes les

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éditions grecques , est une simple note placée au bas du manuscrit, d'où elle avait été mal à propos portée dans le texte : Robert Simson a écrit six pages contre cette mauvaise et inutile définition , et elle n'est pas d'Euclide.

Le même traducteur relève une bévue remarquable de tous les textes grecs imprimés; un changement de lettre dans la figure avait causé tout l'embarras. En rétablissant la lettre véritable <P au lieu de a , on ne donne plus à Euclide le ridicule de paraître ignorer une vérité de la géométrie la plus élémentaire. Voyez Prop. 17 , li\>. XII.

La proposition 86 des Données avait fort inquiété Grégori qui, dans sa préface, en propose deux rédactions identiques, et à laquelle il voulait en ajouter une troisième, qui compléterait le système de la résolution des équations bi-quadratiques à la manière des anciens. Cette dernière conjecture n'est pas confirmée par le manuscrit, qui n'offre que l'une des deux premières rédactions. Grégori croyait le théorème singulièrement altéré ; 6on erreur venait de ce qu'il ne connaissait pas un lemme qui se trouve dans le manuscrit à la fin des Données , et qui doit précéder la proposition 86.

M. Peyrard donne ce lemme qui , au reste , est une proposition bien simple et bien connue. Il s'agit de trouver la surface d'un parallélogramme obtus-angle; mais cette propo- sition renferme une construction nécessaire à la démonstration des propositions 86 et 87 , qui disent que si deux lignes formant un angle donné comprènent un espace donné, et que le carré de l'une, augmenté ou diminué d'un espace donné, soit au carré de la seconde, en raison donnée, ces deux lignes seront connues.

D'après toutes ces considérations, nous pensons que la classe peut donner son approba- tion au travail de M. Peyrard , pour l'encourager encore à terminer l'entreprise qu'il poursuit avec une persévérance digne d'éloges, et qui nous fera mieux connaître tous les mathématiciens grecs. Nous exprimerions le vœu de voir paraître une édition grecque du texte d'Euclide , purgée de toutes les fautes que les manuscrits ont fait rectifier , et enrichie de toutes les additions qu'ils ont fournies; mais cette édition serait dispendieuse et deman- derait beaucoup de temps : nous nous bornerons donc à souhaiter que M. Peyrard ajoute à sa traduction la liste de toutes les variantes qu'il a recueillies, et qui lui paraîtront mériter quelque attention. Ainsi les géomètres pourront corriger les éditions anciennes , en atten- dant celle qui pourrait faire oublier toutes les précédentes.

Signé à la minute , LAGRANGE, LEGENDRE , DELAMBRE, rapporteur.

EUCLIDIS

ELEMENTORUM

LIBER P R I M U S.

OPOI. DEFINITIONES.

«. 2HMEION l<rw, ou ptpoç oùôtv. i- Punctum est, cujus pars nulla.

0. Tfa/j-fx» «Te, /xUkoç àwAaTéf. 2- Lînea autem, longitudo non lata.

y. Tp*f*f*tiç Si vrlpxTu, <n,p.i7ct. 3- Linese vero extrema, suutpuncta.

cT'. EÙ6e7a ypa/jL/j.» Utiv , »t/ç è| /Veu ror? 4- Recta linea est » <luae ex œ(lu0 >Psis ia

*<p lawT»s «lAMj'o/f cifRU. eâ punctis ponitur.

«'. E7rt^timetii Iittiv , o /xtiaoç net) tiXoltcç 5. Superficies autemest, quod longitudmem

uâvav tyu. et latitudinem solum habet.

ç-'. E7ri<pa.viictç ii Trîfctrct, yf,a/j.y.at. 6. Superficiei vero extrema , sunt lineae.

LE PREMIER LIVRE

DES ÉLÉMENTS D'EUGLIDE.

DÉFINITIONS.

i. Le point est ce qui n'a pas de parties.

2. Une ligne est une longueur sans largeur.

3. Les extrémités d'une ligne sont des points.

4- La ligne droite est celle qui est également placée aux points qui sont en elle.

5. Une surface est ce qui a seulement longueur et largeur.

6. Les extrémités d'une surface sont des lignes.

I

LE PREMIER LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.

Ç". 'E7T17riS'ûç tTTlçâvilâ iCTTlV, tlTIÇ If 'ItTOV

Tttïç é$ iavTii; ivèttctiç mirai.

». BrrÎTT-iS'oç <fê yavla ittïv » tv t7ri7rlcï'ai S'ùo •}px/AfAU,v a.7rrofji.iva>v aXhn\a>v , kcli /un itt tùSiiatç Ktipuyux , 7rf>bç otXXtiXaç tuv ypa/jc/uav uXtcriç.

ô . Ot<« J\ ai 7rtpnysvtrcu tiiv tltn/xivm1 yuviav ^ca/x/xci tvùi',ai ootrir , rjQuyp2./L>./ut,oç y.a- Xtlrai m ytovia.

L Orav <h iuiiîa. st ivhua.v CTaôî'.cra ràç

7. Plana superficies est, quae ex aequo ipsis in cà rcctis ponitur.

8. Planus autem angulus est in piano duarum linearum sese tangcntium , et non in dircctum positarum , alterius ad alteram inclin'alio.

g. Quaudo vero continentes dictum angu- lum lineœ rcctae sunt , rectiliueus appcllaiur angulus.

10. Quando autem recta in rectam insistens

tÇtcjnt ymittç ïcraç aXXr.Xaiç toi» , op£ii iKatkpa. deinccps angulos aequales inter se facit , reclus tm 'htm yavsuv Xsrt1' y.a) » l^itrruy.-jla ilbiïa utcrque aeqnalium angulorum est; et insistens

XaViTCç zv.Mnai tp nv tÇfrrtixi".

ta. Afj£Xï',a yuiv'ia irrh , h [xtiÇwv ôùôîi(. <(T. OÇlî* «Tf j « tXuircrtiù: tpbnç. ty. Op:s l<n)r , l rnoç im Trtfaç.

lS~' . tyj\fjiâ i?TI, TO Ù7T0 T/fCÇ M TiCWC 'cpCôt

"itiPiiyofx-.voVf

ti. KunXoç i<rri tryjif/.a tvimS'cv , wtto fitaç ypa/AfiHç 7rif,n%o/Airov , » y.aXiïrat TripiÇipua' 7Tpoç nv , atp ticç crti/xiiou tuv ivtoç toO <r%)tfj.aToç ntifJiuuv , 7ratrai ai ■7rpo<rri7TTOUFai ivùîîai Trpiç TY\v rcv kukXov TTipitpipuav lirai aXXnXatç ticrt.

recta perpendicularis vocatur in quam insislit.

1 1. Oblusus angulus est, qui major recto.

12. Acutus antem, qui minor recto.

1 5. Terminus est, quod alicujus est extremum.

14. Figura est, quod ab aliquo vel aliquibus tcrminis continctur.

i5. Circulus es!; figura plana ab unâ lincâ contenta , quae vocatur circumferentia ; ad quam ab uno puncto eorum intra figuram positorum , omnes cadentcs recta: ad circuli circumfcrenliam, aequales inter se sunt.

7. La surface plane est celle qui est également placée aux droites qui sont en elle.

8. Un angle plan est l'inclinaison mutuelle de deux lignas qui se touchent dans un plan, et qui ne sont point placées dans la même direction.

9. Lorsque les lignes , qui comprènent ledit angle , sont des droites , l'angle se nomme rectiligne.

10. Lorsqu'une droite tombant sur une droite l'ait deux angles de suite égaux entre eux , chacun des angles égaux est droit ; et la droite placée au-dessus est dite perpendiculaire à celle sur laquelle elle est placée.

il. L'angle obtus est celui qui est plus grand qu'un droit.

12. L'angle aigu est celui qui est plus petit qu'un droit.

i3. On appelé limite ce qui est l'extrémité de quelque chose.

\l\. Une figure est ce qui est compris par une seule ou par plusieurs limites.

i5. Un cercle est une figure plane, comprise par une seule ligne qu'on nomme circonférence, toutes les droites, menées à la circonférence d'un des points placés dans celte figure, étant égales entre elles.

LE PREMIER LIVRE DES

#Ç* . K VTpOV fi TOU XUXAOV , TO ffHfXiïltr

KetXtTrau

iÇ '. Aidftirpoç St tou zvkXûv Ict\y tùdtîâ. tiç ha. tou y.tvrfou «j/xtc» , xa* •Tnpa.Toufjt.îvn »0 UtCLTipct T* yuip» Ûîto T»ç tow r.ûzXov Ttipi- Çlftletç' HTIÇ Ml) MX* TtfM'U TO> KVXXOV.

m. Hfxix.ux.Xiov «Ps tori to vtpttxô/J.tvoy cxîifjut, Ùirô Tt TÎtç 4 hetfjiiTpou , xa/ T»£ àVo- \a.ix£<tvo[Â.ivv\ç utt atirtiç s tou xJxÀov 7ripiÇiptia.ç.

iÔ . T/xi/jut kukXou sot; , to w*o/e^ô/*eco»' exjifjut' wo Te tuùttaç x.ou kuxXou vipiÇiptiaç , « fAtiÇovoç » èAasTowoç ù/ju au y.'/. i ou 7.

x'. S^jffwtT* iù6ûypoi/x/jLei. i<m 8 , Ta uîto f«8e/«c •mpivxputva..

xa. Tp'nrXtupa. /juv y t*. vtto Tptiïv.

xfa . TtTpàVAeoea «Ts , Ta t/?ro Tesvap&)f.

xj' . rio?u/77-Aei>ea «Tê , Ta i/ot 7rAt/oV»y » Tt<nra.pav tuoiiuv wep/t^o/xeya.

x<f . Tâ>r A Tpi7rXivpuv a^»fÀ.xTuv , 'uroTrXtupov fttv rptyuvov irri , to T«f ' Tp«îff «Vas e^oc

ÉLÉMENTS D'EUCLIDE. 3

16. Centrum autem circuli, hoc punctuui vocatur.

17. Diametervero circuli est recta quacdam per centrum ducta, et terminata ex utràque parte a circuli circumferentiâ; quae et bifariam sccat circulum.

18. Semicirculus vero est contenta figura ab et diamctro , et circumferentiâ circuli ap- prehensâ ab diametro.

19. Segmentum circuli est , contenta figura ab et rectâ , et circuli circumferentiâ , vel majore vel minore semicirculo existente.

2.0. Figura? rectilineae sunt , quae ab redis continental*.

21. Trilateras quidem, quas ab tribus.

22. Quadrilatéral autem, quas ab quatuor.

23. Multilatéral vero , quas ab pluribus quam quatuor rectis continentur.

24. Trilaterarum autem figurarum , aequila- terum quidem triangulum est quod tria aequalia habet latera.

16. Ce point se nomme le centre du cercle.

17. Le diamètre du cercle est une droite menée par le centre, et terminée de part et d'autre par la circonférence du cercle : le diamètre partage le cercle en deux parties égales.

18. Un demi-cercle est la figure comprise par le diamètre, et la portion de la circonférence , soutendue par le diamètre.

19. Un segment de cercle est la figure comprise par une droite et par la circonférence du cercle ; le demi-cercle étant plus grand ou plus petit que le segment.

20. Les figures rectilignes sont celles qui sont terminées par des droites.

21. Les figures trilatères sont terminées par trois droites.

22. Les quadrilatères , par quatre.

a3. Les multilatères , par plus de quatre.

24* Parmi les figures trilatères , le triangle équilatéral est celle qui a ses trois côtés égaux.

4 LE PREMIER LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.

xi. l<rocrx.t>iç SI , to tuç Svo /à.Ôvo.( itrctç i%ov xç-'. 2x«Ahc oc S\ , to T«f Tpeîç «y/Vouç '" ïyoy

x.Ç. Et/ t*", T«v TpnrXtvpuv ayti/bcâruv , îpùoywioy [Aiv rpiyuyov irrt , to \%qv cpôny •yiùv'tctv,

xi. A[À.CXwymiov i~t , to t%cv à/ji£Xï7a.y ymitty,

xd', oÇvyâvtov S\ , to ràs ia Tp~j l%ti<tç t^oy ywvittç.

A'. Tw St nT fa.TrXtupMV a^xfxxruy , rtrpet- yuvov ju-v Iot/p , o ]?Q7tteup6v rî ia-ri xcti oùèoymiov.

Xa. ETepoyuxxef Ji , o lùùoyuviov yw«v, eu* Wô-aXiVfoy i\.

àf. PÔ/xCof <Tt, O îo-oVAtUpOf /ASVj oyje ocflo-

yuvioy <Te.

^j''. Poyu£oe«Jtç (Tê , to Ta? a7«ea> t/oc 7r\tvp<tç Te xai yuvlctç irctç à/AnAa/j s%oc, o out» »Vo'- wXtvttiv toT/e, oÙT8 ôùôoyûvioy.

>^'. Ta A wapà toiut* TtTpaTrAtuoa tc«- 7ri£ia xaAt/o-fi*>.

25. Isosceles vero , quod duo solum xqualia liabet latera.

26. Scalenum autem, quod tria inaequalia habet latera.

27. Insuper , trilaterarum flgurarum rectan- gulum quidem triangulum est , quod habet rectum angulum.

28. Obtusangulum autem, quod habet obtu- sum angulum.

29. Acutangulum vero , quod très acutos habet angulos.

30. Quadrilaterarum autem figurarum, qua- dratum quidem est, quod et œquilaterum est et rectangulum.

3i. Oblongum autem , quod rectangulum quidem , non vero œquilaterum.

32. Rhombus vero , quod acquilaterum qui- dem , non vero rectangulum.

33. Rhomboïdes autem, quod et opposita latera et angulos œqualia inter se babet, quod neque aequilatcrum est, nec rectangulum.

34- Praeter hxc autem quadrilatera trapezia Yocentur.

35. Le triangle isocèle, celle qui a seulement deux côtés égaux.

26. Le triangle scalène, celle qui a ses trois côtés inégaux.

37. De plus , parmi les figures trilatères, le triangle rectangle est celle qui

a un angle droit.

28. Le triangle obtusangle , celle qui a un angle obtus.

29. Le triangle acutangle , celle qui a ses trois angles aigus.

30. Parmi les figures quadrilatères, le quarré est celle qui est équilatérale et

rectangulaire.

3i. Le rectangle, celle qui est rectangulaire, et non équilatérale.

32. Lerhombe, celle qui est équilatérale, et non rectangulaire.

33. Le rhomboïde, celle qui a ses côtés et ses angles opposés égaux entre eux, et qui n'est ni équilatérale ni rectangulaire.

34. Les autres quadrilatères, ceux-là exceptés, se nomment trapèzes.

LE PREMIER LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE. 5

35. Parallelae sunt recta: , quae in eodem piano existantes , et productae in infinitum ad utramcpe partem , in neutram sibi coincidunt.

At. n*pctM»iAo/ ùnv tùfltî*/, a? rmç tv rcp «Ùt<2 tirftr'tf'q) misât , xai 'txSaXXÔfxtvai tïf '!

rVfXTriTTTOVFtV «M«Aet/f.

AITHMATA.

a. HtMu , àvo va.vToç m/jalou tv) vèiv m/MÎov tùÔtîar ypeLfj.iA.tw àyayiîv.

C. Ka) ■7r(7rtj>a.trfj,tv»r ivQiîav Itt iiôiixs kolto. to tvviyiix sxCaAAe/f.

y. Ko.) t*vt) xt'cTpp xet) iïa.!rr»/xaTi KVK^oy yùa.ÇiïQa.1,

<P. Ka.) Ttis-a-ç Tetf ôpflaf yuvietç tirai «AA»l- 7/j.iç, uval.

i. Ka) làv t/'ç Juo tiôtlaç tvdtîa riç1 tfATtt- irrcvra raç Iytoç xa) \iri t« aura, /xîpn ymiaç Jl/O ôpdôiy îxâavoi'ctf ttc/h, lx£aA>o/«iaf Taff /uo tùôtlaç tir cnrtipov Fv/j.7ri7rTtiv ttAA«Ase/f, iip <* ju.ép» ùtriv a.) tuv «Tv's cpôwy thJ.svcYi( yuv'tat '.

$■'. Ka) <fuo tùSe/aç yuplcv f*n * irifnyjir.

POSTULATA.

T. Postuletur, ab cmni puncto ad orauc punctura rectam lineam ducere.

2. Et finitam rectam in directum secundum continuum producere.

3. Et omni centro et intervallo circulum describere.

4. Et omnes angulos rectos aequales inter se esse.

5. Et si in duas rectas recta quaedam incidens , interiores et ad easdem partes angulos duobus rectis minores faciat, productas illas duas rectas in infinitum sibi coincidere ad quas partes sunt duobus rectis minores anguli.

6. Et duas rectas spatium non continere.

35. Les parallèles sont des droites, qui, étant situées dans un même plan, et étant prolongées à l'infini de part et d'autre, ne se rencontrent ni d'un côté ni de l'autre.

DEMANDES.

1. Conduire une droite d'un point quelconque à nu point quelconque.

2. Prolonger indéfiniment , selon sa direction , une droite finie.

3. D'un point quelconque, et avec un intervalle quelconque, décrire une circonférence de cercle.

4- Tous les angles droits sont égaux entre eux.

5. Si une droite , tombant sur deux droites , lait les angles intérieurs du même côté plus petits que deux droits, ces droites, prolongées à l'infini, se rencon- treront du côté où les angles sont plus petits que deux droits.

6. Deux droites ne renferment point un espace.

6 LE PREMIER LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLJDE.

KOINAI ENNOIAL NOTIONES COMMUNES.

a. Ta t&> avrio ktcl, x.ai clXXhXoiç Itrrip 'trtt. I. Qvje cidem xqualia, etinler se suntaequalia.

C. Km \av ïtroiç «Va irpooTièn y rà. cÂa 2. Et si aequalibus aequalia addautur , tota sunt

tST/c ?«•*. oequalia.

y . Ktti ta.v a.7TQ itruv ura açaipiôti , Ta.tta.Ta,- 3. Et si ab aequalibus œqualia auferantur,

y.wnofxiva. Iotiv 'tira.. reliqua sunt œqualia.

«T. Ktti tav ariiroiç tira 7rpoaTeflw, t« «A* 4- Et si inaequalibus œqualia addantur, tota

ctiv 0.1'itx. sunt inaequalia.

t. Kaj sac àwo tttlntt ira, àpa/peflîï , t« , 5- Et si ab inxqualibus œqualia auferantur,

\017ra. ittiv tait», reliqua sunt inœqualia.

ç-'. Ka) rct tou olÙtov S"t7rXâ<rta, t'a-a. «AAh'Ao/ç 6. Et quae cjusdcm duplicia, œqualia intcr se

tort, sunt.

£\ Ket* to. tou aï/Tov wlf* , i<ra ÔAAm'Aoj; 7. Et quae ejusdem dimidia , œqualia inter se

» /

I9T<. sunt.

«. Ko.) to, ltpaffj.oC0vTa.l7r oAAiiAa, 'tira. etA- 8. Et quae congruunt inter se , œqualia iuter

AhAo/j Îat/. *e sunt.

6'. Ka/ to eAov tou /Aîpovç fAtîÇôv tort '. 9- Et totum parte majus est.

NOTIONS COMMUNES.

1. Les grandeurs égales à une même grandeur , sont égales entre elles.

2. Si à des grandeurs égales , on ajoute des grandeurs égales , les touts seront égaux.

3. Si de grandeurs égales , on retranche des grandeurs égales, les restes seront égaux.

4. Si à des grandeurs inégales , on ajoute des grandeurs égales , les touts seront inégaux.

5. Si de grandeurs inégales , on retranche des grandeurs égales , les restes seront inégaux.

6. Les grandeurs , qui sont doubles d'une même grandeur , sont égales entre elles.

7. Les grandeurs, qui sont les moitiés d'une même grandeur, sont égales entre elles.

,8 Les grandeurs, qui s'adaptent entre elles, sont égales entre elles, g. Le tout est plus grand que la partie.

LE PREMIER LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE. 7

nP0TA2I2 «. PROPOSITIO I.

Ett/ Ttif <Toflî/<ntç tùHticLt 7rr7rtpaa-/jiîv)iç rpt~

EK0E2I2 '. Eut» » J^ra-* tiiôtîa. * wtTe- fa.<r[j.îvti » AB.

nPOXAIOPEMOS '. Af~ <T£ iv) r»ç AB

tùôs/aç TreTrspaS'jUst'Df * rpiyiavov i<ro7rMvpov av-

KATA2KEYH 5. Ktvrpq) fÀv t£> A , <T/aiTT«'/^stT< A tb AB, kvkXoç ytypa.<p6u o BrA" xtt) iriXtv , xîvrpu fjiiv t»B, fia.fTrifAa.Ti S% t» BA , kvkXo( •yrypaçBto o ATB' xat «tto tou T av/Aitov , xa6' o Têjucei/ir/i' «AAm'/ouç m kvkXoi , itt) rà, A , B nfJi.UA t7riÇiû%ôw<r<tv îôôe/a* cl fA, TB.

Super datam rectam terminatam , triangu- lum aequilaterum constituere.

Expositi o. Sit data recta terminata AB.

Determinatio. Oportet igitur super AB rectam terminatam triangulum aequilaterum constituere.

Constructio. Centro quidem A , inter- valle" autem A B , circulus describatur BrA • et rursus , centro quidem B , intervalle- autem BA , circulus describatur A TE; et ab r puncto, in quo sese sécant circuli , ad A , B puncta adjun* gantur rectoe TA , TB.

AITOAEI3I26. Ko.) lirù to A sy\fA.iïov yÀvrpav Démon stratio. Et quoniam A punctum

%<m too BrA xvxXov , 'bru tarif » AT rn AB* centrum est BTA circuli , aequalis est AT ipsi

iraXiv , \ttu to B mfxtîov xîvrpov tari rov ATE AB- rursus, quoniam B punctum centrum est

xJkAoo , H<r» tarif » BT t» BA. E<JW%6» Je ko.) r) ATZ circuli , aequalis est Br ipsi BA. Oslensa

PROPOSITION PREMIÈRE.

Sur une droite donnée et finie, construire un triangle équilatéral.

Exposition. Soit ab une droite donnée et finie.

Détermination. Il faut construire sur la droite finie ab un triangle équilatéral.

Construction. Du centre a et de l'intervalle ab, décrivons la circonférence BrA (dem. 3); et de plus, du centre b et de l'intervalle ba , décrivons la circonférence ArE; et du point r, où les circonférences se coupent mutuellement, conduisons aux points a , B les droites ta , tb ( dem. 1 ).

Démonstration. Car, puisque le point a est le centre du cercle BrA, la droite AT est égale à la droite ab ( déf. i5); de plus , puisque le point B est le

8 LE PREMIER LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.

TA t» AB $<W tKATip». apa tûùv TA, TB t» AB est autem et TA ipsi AB œqualis; utraque igitur

Itrrh ïirn. Ta £ï tu auTu ïra , xct) àx^»Xoi( ipsaram TA , TB ipsi AB sequalis est. Quae

la-Tn7 ï<ra.' net) û TA apa t» TB ïn ttriv ai autem eidem œqualia, et inter se sunt œqualia •

rptïç apa ai TA, AB, Br ï<r*i àXKÛXais ùtriv. et TA igitur ipsi TB cstœqualis; très igilur TA ,

AB , Br aiquales inter se suât.

r

SrMITEPASMA 8. ItrlnrXwptiv apa î<r7i tJ Concli/sio. ^quilaterum igitur est ABr

AÏÏTrpiytovov, xa) <ruvi<r]a']ai 9 \m t»ç <Toflt/V>K triangulum , et constitutum est super datam tiStlaç Truvipaa-fûiviK; thç AB. Omp tS'u 7roiîi<rai. rectam terminatam AB. Quod oportebat facere.

nPOTASIS 0'.

PROPOSITIO IL

Tïpoç tu MtvTi <rxjui!oj , t» «TcOe/V» tvôiia Ad datum punctum , data? rectae scqualem

imv tùùtîav Ùi<r6ai. rectam ponere.

E<tt6) to /Av «Toôêc mfjiuov tS A, | Si SoQtia-a Sit quidem datum punctum A , data autem

lùdtîa » Br* S\S S~h 7rpoçTù> A n/Jnïu, t>T S~o6ti<ry recta BT •, oportet igitur ad A punctum, data?

tùdtîa t« Br ' îW ivBtîav èîfùai. recta? Br aequalem rectam ponere.

E7rtÇet!"^6« yàq à-no tou A Tït/xilou l-n) to B Adjungatur enim ab A puncto ad B punctum

enfxt7ov tùStïx » AB, xa) ovvto-râTto l-n «wt«ç recta AB, et constituatur super eam triangulum

centre du cercle ArE , la droite Br est égale à la droite BA ; mais on a démontré que la droite ta était égale a la droite ab ; donc chacune des droites ta, tb est égale à la droite ab; or, les grandeurs qui sont égales à une même grandeur, sont égales entre elles (not. i ) ; donc la droite ta est égale à la droite rB ; donc les trois droites ta, ab, Br sont égales entre elles.

Conclusion; Donc le triangle ABr(def. 24) est équilatéral, et il est construit sur la droite donnée et finie ab. Ce qu'il fallait faire.

PROPOSITION IL

A un point donné , placer une droite égale à une droite donnée. Soit a le point donné, et Br la droite donnée; il faut au point A placer une droite égale à la droite donnée Br. Menons du point A au point B la droite ab (dem. 1) ; sur cette droite construisons

LE PREMIER LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE. 9

rpiyuvw ierÔ7rXtvpov to AAB, xeti tKCtCxMutrctv acquilaterum A.AB , et proi'ucantur in directum

\tt iv&t'iaç tolÎç AA, AB il6t7ttt tt! AE , BZ, ipsis A A , AB rectae AE , BZ , et centra

ieai Kivrptf /Av tûj B, ha.<rr»/jt.ctTt & tù Br, quidem B, intervallo vero Br, eirculus descri-

xvkXoç yiypcïtpbu é1 rHe* net) ttclXiv , xtvTpa batur rH©; et rursus centro A, et intervallo

t« A , ko.) <JWth/a*t< 5 t£ AH, KtjnXctyty piçôu AH eirculus describatur HKA, 0 HKA.

E

Ettu ovv to B erti//.t7ov Ktvrpov terri roiï TH0 kvkXou, Km èo-rji' » Br tîï BH. HctXjv*, 1tt« to A «fUê/by xtvrpov êoT» toS HKA jm/xX«, io-» *<rT«y h AÀ tÎi AH, «c » AA -rîf AB «Va \<rr'r Xcnrii ctpet ti AA .Xonr» T»ï BH 8JT*c /Vw. EJu^Sh (Tfe «xi » Br T» BH iott ixctTtpct ctpet tcov AA , Br t!) ÏH t!TT«i' Tint. T« <fs t£ àt/T&i fflw , xtti i\X»Xoiç \ttiv lerct' v.sà » AA ctpet

t» Br iffTif in

Tlpcç ctpet tu Mtvn muùo) t» A , t» £obtln tvitiet Tj» Br ïm tvôtîct xtTrcti « AA. Oîi-jp \S~tt irotîia-cti.

Quoniam igitur B punctum centrum est THe circuli , aequalis est Br ipsi BH. Rursus , quoniam A punctum centrum est HKA circuli , sequalis est A A ipsi AH, quarum AA ipsi AB aequalis est; reliqua igitur A A reliquae BH est aequalis. Ostensa est autem et Br ipsi BH aequalis ; utraque igitur ipsarum AA, Br ipsi BH est aequalis. Quae autem eidem aequaiia , et inter se sunt aequaiia ; 'et Afc-igitur ipsi Br est aequalis.

Ad datum igitur punctum A , datae rectae Br aequalis recta ponitur A A. Quod oportebat facere.

le triangle équilatéral aab ( prop. 1 ) ; menons les droites AE , bz dans la direction de aa , ab ; du centre b et de l'intervalle Br, décrivons le cercle rHe (dem. 3); et de plus, du centre a et de l'intervalle ah, décrivons le cercle hka.

Puisque le point b est le centre du cercle rHe , Br est égal à bh (déf. i5) ; de plus , puisque le point a est le centre du cercle hka, la droite aa est égale à la droite ah ; mais aa est égal à ab ; donc le reste aa est égal au reste bh (not. 3). Mais on a démontré que Br est égal à BH; donc chacune des droites aa, Br est égale à bh. Mais les grandeurs qui sont égales à une même grandeur, sont égales entre elles ( not. 1. ) ; donc aa est égal à Br.

Donc , au point donné A, on a placé une droite aa égale à la droite donnée Br. Ce qu'il fallait faire.

a

io LE PREMIER LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.

nPOTASIS y. Avo a~oûiiirmv tù8tiuv àviirw , i^ro r»ç /uitiÇoyoç

Ttl iXaOVOVI l<r»V ivQi7a.il à^ihîtv.

Eirrurav ai foùiîtrai $vo iùBtîxi kvtirct ai AB, T , ùv iXiiQav ï<rru> » AB* Piîfn àno rît*; /uuiÇovoç T»f AB t» iXâevovt t« r ïmv ivdtîav àtpiMÎv.

KtitrQa yap ' 7tûoç tû> A <Tv\fx.iiut t!» r lù&iief. in » AA* xa) Kivrtu /x\v t$ A, i'iatfiti/Ji.a'Tt <T4 t£ AA , xu'jcÂOf ytypâipBu i AEZ.

PROPOSITIO III.

Duobus datis rectis inaequalibus , a majore minori œqualem rectam auferre.

Sint data; duae rectae inaequales AB, r, quarum major sit AB ; oportct igitur a majore AB minori r aequalem rectam auferre.

Ponatur enim ad A punctum ipsi r rectae aequalis AA; et centro quidem A, intervalle» vero AA circulus describatur AEZ.

Ko» i7Tu ro A n/jLi7ov xtvrpov \<n) toC AEZ xuxAb , ÎV» iirrtv « AE t!Ï AA" àxxà ko) » TtÏ AA 'i<rr)v «Vu. ExaTtpa apa. rm AE, T r» AA

«TIC «OT)* MOTS X«l « AE T» T eiTTil' «y».

Auo «pet <fbôs/«Se its6t<£y iv'm»v twc AB , T, *7ro T«f /xiiÇovoç rriç AB tm iXaitnron t» T fn àçipnrat ti AE. OT«p ÏS'ti 7roi»<rai.

Et quoniam A punctum. centrum est AEZ circuli , aequalis est AE ipsi AA; sed et r ipsi A A est aequalis; utraque igitur ipsarum AE, r ipsi A A est aequalis; quare et AE ipsi Test aequalis.

Duabus igitur datis rectis inaequalibus AB , r , a majore AB minori r aequalis ablala est AE. Quod oportebat facere.

PROPOSITION III.

Deux droites inégales étant données, retrancher de la plus grande une droite égale à la plus petite.

Soient ab , r les deux droites inégales données , que ab soit la plus grande ; il faut de la plus grande ab retrancher une droite égale à la plus petite r.

Au point a plaçons une droite aa égale à r (prop. 2), et du centre A et de l'intervalle aa , décrivons le cercle aez ( dem. 3 ).

Puisque le point a est le centre du cercle aez, ae est égal à aa; mais r est égal à aa ; donc chacune des droites ae , r , est égale à la droite aa ; donc la droite ae est égale à la droite r.

Donc les deux droites inégales ab , r , étant données , on a retranché de la plus grande ab une droite ae égale à la plus petite r. Ce qu'il fallait faire.

LE PREMIER LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE. M

^ riPOTASIS s-'. PROPOSITIO IV.

E«p Si/o Tptyaya Taç Suo TrXtupaç Tciïç ' <JWî vrMvpatç itraç t%y, txaTtpav txaTtpa, r.ài thc yiaviav tii yuvia imtv t%ti , tmv liro ràv ïo~w tvùtiZr wtpii^ofxîvtif ko.) thv fiâa-ti> th fiant trnv sçti , nat to Tùtywov toi Tpiywvc/) to~ov tarât, aai ai XoiTrat ywiai rctiç Xoi7ra7çyuviaiç lirai to-crrai , tKaTtpa tKaTtpa, ôq> aç ai irai

wMvpat VTTOTlivOVTIV.

Si duo triangula duo latera duobus lateribus aequalia habeant, utrumque utrique , etangulum angulo aequalem habeant, ab aequalibus récris contentum; etbasimbasi aequalemhabebunt, et triangulum triangulo sequale erit, et reliqui an- guli reliquis angulis aequales erunt, uterque utrique , quos aequalia latera subteuduut.

BffTffl Sua rpiyuva t<* ABr, AEZ, ràç Sôo •nrkivpaç raç AB , Ar , ra7ç Sus) <&Xtvpaîç Ta7ç AE, AZ itraç tyovTa, tr.aTipav tKaTtpa. , thv /utr AB tÎÏ AE, t»c St AT t? AZ, xa) ywviav rtiv v7ro BAr ywïq. rn vwà EAZ ïmv Xtya oti xal fiâa-iç h Br fiâs-ti tm EZ ïoti \<rriy , x.a) to ABr Tpiywov tu AEZ Tpiyâvu ïrov "tarât, x.ai ai Xoi7ratyuviat Ta7ç Xot7ra7ç yavîatç 'îirai ta-ovTat,

Sint duo triangula ABr , AEZ , duo latera AB , AT duobus lateribus AE , AZ aequalia habentia , utrumque utrique , AB quidcm ipsi AE, AT vero ipsiAZ, et angulum BAT angulo EAZ aequalem ; dico et basiin Br basi EZ aequalem esse , et ABr triangulum AEZ triangulo aequale fore , et reliquos angulos reliquis angulis aequales fore utrumque utrique , quos aequalia

PROPOSITION IV.

Si deux triangles ont deux côtés égaux à deux côtés, chacun à chacun, et si les angles compris par les côtés égaux sont égaux , ces triangles auront leurs bases égales , ils seront égaux , et les angles restons, soutendus par les côtés égaux , seront égaux chacun à chacun.

Soient les deux triangles ABr , aez ; que ces deux triangles aient les deux côtés ab , Ar égaux aux deux côtés ae , az , chacun à chacun , le côté ab égal au côté ae, et le côté Ar au côté az, et qu'ils aient aussi l'angle BAr égal à l'angle eaz ; je dis que la base Br est égale à la base ez , que le triangle ABr sera égal au triangle aez, et que les angles restaus , soutendus par les côtés égaux,

12 LE PREMIER LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.

Ïk*ts/s* 'iKXT'çï, v<p *f *» tnu vMvpct) v**o- latera suLtendunt , ABr quidem ipsi AEZ , AH»

Ttivoviriv, « fÀv v7ro ABr tw vttq AEZ, « Je </7ro vero ipsi AZÏ. ArB rp Ô7rè AZE.

A A

Epap/xoÇo/wvou >-àp tow ABr Tp/^wrcu Itt/ to AEZ Tpiyuvov , ko.) Ti&ifxivou rou [Àv A n/x,tiou im to A evfMÏov , t«? «Ai AB eùÔuaç e^x* mv AE ,

tÇUp/XOttl KoÙ TO B <Tt)/J,t70V " JWI TO E , «TVet TO

ïtrnv uva.1 thc AB tîî AE* éipap/xoo-eto-»? /"« t»>ç AB tv) inv AE , l^ap/xom xeu » Ar tùâe/ee. Itt* thc AZ , <F/à to Hnv ufcti txk tiwo BAr yuvïctv tw Ûto EAZ* «Sort xow to r nfAtiov tw< TO Z rn/Maoy \<fa.ffx.zm , «Tioi to ioTtc iraXtv tivai my Ar T»ï AZ. AM« ftnv x.a) to B it) tÔ E Içtip- /xôy.ti , ù)»T» jSecovç « Br tw» j8ao"/F thc EZ ïpap- fjiôtrtf t\ ya.p rov fx,iv B twi to E épap/ACo-ayTOf, ToD <Tè r w! t« Z , « Br /3â«{ «771 t»c EZ oùx l^apfxim , «TiJo tùSe/a/ %apiov 7ripiî%ovo-iv , »w*p toT/y J à/weetToc. Etfa.pfx.oni «p<* » Br /Saovç

b r

Congruente enim ABr triangulo AEZ trian- gulo , et posito quidem A puncto super A punctum, AB vero rcctâ super AE; congruet et B punctum ipsi E , quia est œqualis AB ipsi AE; congruente autem AB ipsi AE , con- gruet et Ar recta ipsi AZ, quia sequalis est BAr angulus ipsi EAZ ; quare et r punctum Z puncto congruet , quia sequalis rursus est AT ipsi AZ. Sed quidem et B ipsi E congrucbat ; quare basis Br basi EZ congruet; si enim quidem B ipsi E congruente , r vero ipsi Z , Br basis ipsi EZ non congruat , duae rectae ipatiumcontincbunt, quodest impossibile. Con- gruet igitur Br basis ipsi EZ , et œqualis ei erit; quare et totum ABr triangulum toti AEZ

seront égaux chacun à chacun ; l'angle ABr égal à l'angle aez, et l'angle ABr égal à l'angle aze.

Car le triangle ABr étant appliqué sur le triangle aez, le point a étant posé sur le point a , et la droite AB sur la droite ae , le point b s'appliquera sur le point E, parce que AB est égal à AE ; mais AB étant appliqué sur AE, la droite Ar s'appliquera sur az, parce que l'angle BAr est égal à l'angle eaz; donc le point r s'appliquera sur le point z, parce que Ar est égal à az ; mais le point B s'applique sur le point E ; donc la base Br s'appliquera sur la base ez ; car si le point B s'appliquant sur le point e, et le point r sur le point z, la base Br ne s'ap- pliquait pas sur la base ez , deux droites comprendraient un espace, ce qui est impossible (dem. 6); donc la base Br s'appliquera sur la base ez , et lui sera

LE PREMIER LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE. i3

liri thc EZ , xa) ïn cLÙrti ïtrrctr û<rrt xai oXov to ABTTpiyuvov tvi oXov to AEZ Tpiyuvov t<papfJ.o<rii , xaï iirov àuTU tarai, xai ai Xonrai yuviai %vi Tttf Xonràç yuvlaç (Çap/môa-uai , xai irai auTaiç "urovTai, » [Àv înto ABr t» vire AEZ , » <Tj ktto ArB t? Ùîto AZE.

Este apa S\jo Tpiyuva roiç Sio vtevpaç toiç JWj TrMvpaiîç ïev.( *XV ■> êxotTêpsec ixaTtpa, xai

Tiff yUVtàL* T» ^&>f /ol i'iTXV «£»t , TW U7TO T&>V *<rwr

tùôtiuv 7rtùit%ofÂ,lvMV' xai tvv fiant r» fia.ni imv içti , xou to Tpiyuvov tu Tpiyuvu io~ov tarai , xa) al Xoifiai yuviai raîç Xonraît yuviaiç ïaai trovrat, îxaTtpa txaTtpa , v<p aç al '(fat 7rMvpa) v7roTtlvov<riv. d-mp *fïi S'usât.

nPOTASIS i.

triangulo congruet , et aequale ei erit , et reliqui anguli reliquis angulis congruent , et sequales eis erunt , ABr quideni ipsi AEZ , ArB vero ipsi AZE.

Si igitur duo triangula duo latera duobus lateribus sequalia habcant, utrumque ut ri que, et angulum angulo sequalem habeant ab sequa- libus lateribus contentum ; et basim basi aequalem habebunt , et triangulum triangulo aequale erit, et reliqui anguli reliquis angulis sequales erunt , uterque utrique , quos sequalia latera subtendunt. Quod oportebat ostendere.

propositio v.

Tuv IfOfxiXm Tùtyâmv ai vpoç -rfî fiâm Isoscelium triangulorum ad basim anguli

yuviai tirai à\X*\ai$ ùo-'r xa) , iirpo<rîxÇXnBîi<rM sequales inter se sunt ; et productis sequa-

tuv ïtrav ivQtiw , ai tmo t»v fiânv yuviai irai libus rectis , sub basim anguli sequales inter se

«.WriXaiç \<rovrai, erunt.

égale ; donc le triangle entier ABr s'appliquera sur le triangle entier aez , et lui sera égal; et les angles restans s'appliqueront sur les angles restans, et leur seront égaux , l'angle ABr à l'angle aez, et l'angle ArB à l'angle aze.

Donc, si deux triangles ont deux côtés égaux à deux côtés, chacun à chacun, et si les angles compris par les côtés égaux sont égaux, ces triangles auront leurs bases égales , ils seront égaux , et les angles restans , soutendus par les côtés égaux, seront égaux chacun à chacun. Ce qu'il fallait démontrer.

PROPOSITION V.

Dans les triangles isoscèles , les angles sur la base sont égaux entre eux, et les côtés égaux étant prolongés , les angles sous la base seront aussi égaux entre eux.

i4 LE PREMIER LIVRE DES

E»t&i rotycevov io'ocx.iMç to ABr, îV»c t%ov

TW AB itfMupav TH Ar GrMvpèL, KCU TTÙCVtKÇl-

ÇXnirQwrav W iv&iiaç raîç AB , AT ivùiîai aï BA , TE* teyu oti m /x'.v v7ro ABr yuvia t« vtto ArB \t>\ l<rr)v, h S% vira TBA Ttï v7to BrE.

hiXntpùio ycLt t7ri thç BA Tuyov <ni/uLt7ov to Z, «et/ sè^«p»îo-ôù> «tto tm? jUtiÇovcç TMÇ AE T« êActfT- roi'/ t»? AZ j'mt « AH, xa) \7TÎ(,ivybt*i~av aï ZT, HB ivQtïai,

ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.

Sit triangulum i^osccles ABr, aequale habenj AB latus Ar lateri , et producantur in direc- tum ipsis AB , Ar recta; BA , TE ; dico qui- dem ABr angulum ipsi ArB aîqualem esse, rBA vero ipsi BrE.

Sumatur enim in BA quodlibet punctum Z , et auferatur à majore AE minori AZ œqualis ipsa AH, et jungautur Zr, HB rectœ.

E7Ti) ovv ta-» t<rnv » fjîïv AZ t« AH , « S\ AB tÏ? Ar , «Ttio <T« ai ZA , Ar JWi Talc HA , AB ïtoU tlnv , tuaTtpa iKttripa. , xai yuviav xoivùv 7ripiîxcvetv t»v wsro ZAH* fiao-iç apa n Zr /3st(T£/ t!) HB 1m \<rriv , kcli to AZT rptywov réji AHB Tfiyûvu Itrov tara/ , nai ai Xomai ytùviai tojç Mnraîç yuvlatç i<rai trovrai , hcaripa tzaTipa., vq> aç ai irai isrXwpai xj<mo-

Quoniam igitur est quidem AZ ipsi AH, AB vero ipsi AT, duae igitur ZA , AT duabus HA , AB sequales sunt , utraque utrique , et angulum communem continent ZAH • basis igitur ZT basi HB aequalis est, et AZT triangulum AHB triangulo œquale erit , et reliqui anguli reliquis angulis aequalcs erunt , uterque utrique , quos a:qualia latera subtendunt , Arz quidem

Soit le triangle isoscèle ABr, ayant le côté AB égal au côté Ar; menons les droites BA, te, clans la direction de ab, Ar (dera. 2 ); je dis que l'angle ABr est égal à l'angle ArB , et que l'angle rBA est aussi égal à l'angle BrE.

Car prenons dans ba un point quelconque Z , et de la droite ae , plus grande que az , retranchons une droite ah égale à la plus petite AZ , et joignons le» droites zr , hb.

Puisque az est égal à ah , et ab à Ar , les deux droites za, Ar sont égales aux deux droites ha, ab, chacune à chacune; mais elles comprennent un angle commun zah ; donc (4) la base ZT est égale à la base hb , le triangle AZr sera égal au triangle ahb, et les angles restons, soutendus parles côtés égaux, seront

LE PREMIER LIVRE DES

Tiirovirip, « ytùf vtto ATZ tm vtto ABH, » <T~5 uîto AZr t« Û7TÀ AHB. Kai \7r1i ÔA»i il AZ "oXy t» AH l<rr)v 1<n, air » AB t» AT sirrif Tir» ,

Xonrn iça. M BZ A0/7T» TÎ) TH èsT/f <V»t. E<fW%fljf

<Ts xai » Zr t» HB }*»• <&o <T« a» BZ , Zr JW<

twc ÎH , HB ïnu tînt y éxaTtpa sxarépa, xa/ yuvia. îi ùno BIT ymla. t» înrc THB «o» , xctt fîciri; oliituv v.ïiv» » BI"* xa.) to BZr apa Tpi- ^«voc tû) THB Tp/^wr» ««"or êsra/ , xtti tti aoittcii ~ '..<: (2/ Ta/ç Xonrctiç yuvutiç ica-l tmvTtti , txaTjpst ixxTipct, vtp etç etî nrcti TrAet/pai tiTTO- Ttivov(riv 1<nn iott \<rriv » ywty utto ZBr tw osro HrB , » <Tê Ûtto BrZ th Û7T0 TBH. E7TÙ oSv 0/» » vtto ABH ^ffic/* ÔAy ti? V7ra ATI ym'iq. IJW^â» uni , «y S 07rà TBH tS Û7rô BrZ iV» , Ao/tth ap« « Ûtto ABr Xci7rn th vwo ArB istji' ïsm , x*/ jîffj <œ-poç t» /3aW t« ABr Tp/^wou* fJêi^6» Js ko.) A Ûtto ZBr t5 V7to HTB «Vu , k«i m*W uiro t»iv l&inv w «pa \<Toav.iKw , x«< Ta éçïf.

ELEMENTS D'EUCLIDE. i5

ipsi ABH, AZr vero ipsi AHB. El quoniam tota AZ toti AH est aequalis , qnarum AB ipsi AT est aequalis , reliqua igitur BZ reliquat TH est aequalis. Ostensa est autem et zr ipsi HB aequalis ; dus igitur BZ , zr duabus TH , HB aequales sunt , utraque utrique , et augulus Bzr angulo THB aequalis , et basis eorum communis Br ; et BZr igitur triangulum rHB triangulo aequale erit , et reliqui anguli reliquis angulis a;quales erunt , uterque utrique , quos aequalia latera subtendunt ; aequalis igitur est quidem ZBr ipsi HrB , Brz vero ipsi TBH. Quoniam igitur totus ABH angulus toti ATZ angulo os- tensus est aequalis, quorum TBH ipsi BTZ aequa- lis ; reliquus igitur ABr reliquo ArB est aequalis , et est ad basim ABr trianguli ; ostensus est autem et ZBr ipsi HrB aequalis , et sunt sub basim; isoscelium igitur triangulorum , etc.

égaux chacun à chacun ; l'angle Arz à l'angle abh , et l'angle Azr à l'angle AHB. Et puisque la droite entière az est égale à la droite entière ah , et que ab est égal à Ar , la restante bz sera égale à la restante th (not. 5 ). Mais on a démontré que zr est égal à hb; donc les deux droites bz , zr sont égales aux droites th, hb, chacune à chacune ; mais l'angle Bzr est égal à l'angle thb , et la droite Br est leur base commune ; donc le triangle Bzr sera égal au triangle thb , et les angles restans , soutendus par les côtés égaux, seront égaux chacun à chacun; donc l'angle ZBr est égal à l'angle HrB , et l'angle Brz égal à l'angle tbh. Mais on a démontré que l'angle entier abh est égal à l'angle entier Arz , et l'angle tbh est égal à l'angle Brz ; donc l'angle restant ABr est égal à l'angle restant Ara ( not. 3 ) , et ces angles sont sur la base ; mais on a démontré aussi que Fangle ZBr est égal à l'angle HrB , et ces augles sont sous la base ; donc , etc.

i6 LE PREMIER LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.

nPOTASIS ç-'.

Eau/ rçiyûvou eu £Co ytfivittt ïreu à\\»\ctie tùiri , zen eu v7ro retç ureiç ywiaç wtroTtivvpa.i TrXtvpat ta-tti aÀAjjActif i<rovreti,

Eo~r&> Tfuyavov ro ABT , \mv i%ov tmc Ûto ABr yuvitty t» Ltiq ATB yuvitf." \îya> ojt neù «rsrAti/pa » AB 7rMvp$. t» Ar ' Ifl-rir îni,

E< yàp £virôc trrtv « AB t? Ar, fe/ee * iurav /ut-tLÇuv \<rriv. Erra ptiÇav « AB* net) à.ptipriir6a> à-no Tiiç /xiifyvoe thç AB rit tXiavovi t» Ar «'m « AB, xdi lffiÇiô%da h AT,

PROPOSITIO VI.

Si trianguli duo anguli aequales inter se sunt , et aequales apgulos subtendentia latera aequalia inter se erunt.

Sit triangulum ABr aequalem habens ABT an- gulum ArB angulo ; dico et latus AB lateri Ar esse œquale.

Si enim inasquale est AB ipsi Ar, unum eorum inajus est. Sit majus AB, et auferatur a majore A$ minori Ar aequaljs AB, et jun- gatur Ar.

Ewti ouv ï<rn irrh n AB t« AT, ttc/vii H i Br, Quoniam igitur aequalis est AB ipsi Ar , com-

«TJo <T» ni AB, Br <fW) reûe Ar, TB $nu «Vie, munis autem Br, du» igitur AB , Br duabus

tueiTtpçt iy.sLrîpa , xeà yur(et » xtTto ABr yuvia. ■Ar> rB aequales sunt , utraque utrique , et

TÏ vwo ATB \<rriv ïw fimnt «/><* » AI" j8â«/ tw angulus ABr angulo ArB est aequalis ; basis

AB JV» trrïv , y.ai ro ABr rpiyuvoy tçS ArB J igitur Ar bas» AB aequalis est , et ABr trian-

PROPOSITION VI.

Si deux angles d'un triangle sont égaux entre eux , les côtés opposés à ces angles égaux , seront aussi égaux entre eux.

Soit le triangle ABr, ayant l'angle ABr égal à l'angle ArB ; je dis que le côté AB est égal au côté Ar,

Car si le côté ab n'est pas égal au côté Ar, l'un d'eux sera plus grand que l'autre. Soit ab le plus grand ; retranchons du plus grand côté ab la droite ab égale au plus petit Ar (3), et joignons Ar.

Puisque ab est égal à Ar , et que Br est commun , les deux côtés ab , Br sont égaux aux deux côtés Ar, rB, chacun à chacun; mais l'angle ABr est égal à l'angle ArB; donc la base Ar est égale à la base AB, et le triangle ABr sera égal

LE PREMIER LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE. w

Tû tXafTOV TU fXi'lCfiVl1

Tùtyoùvm ircv amtt , tû tAcuri-ov tu fxuLfivi^y gulum ATB iriangulo sequale erit, minus minori, o-TTip a.T07rW oùx. ipa. cLvia-ôç iotiv « AB th AI"* quod est absurdum ; non igitur inajqualis est AB îVw afct. F.àf api. Tpijcôvov , xa) to. *^»ç, 'psi AT; ergo aequalis. Si igitur trianguli, etc.

nPOTASIS 'Ç.

PROPOSITIO VIL

Ett* tSç aï/Ttiç iiûiictç , JW) to.7ç ctùrctTc Super cadem reclâ , duabus cisdem reclis

tiôiiaiç aXXai S~vo tù&t7a.i Ïicli txartpa. ixarîpa. alias duos reclx asqualcs utraque utrique non

cl trv<rTa.6n<roi>Tau , Trpo; aï-Xa xa) aMw (ni/j.îiu conslituentur , ad aliud et aliud punctum ad

Itt) rà. aura, juif» , to. ainà 7rîp*Tct i^ovra/ casdem partes , cosdem termines habenles quos

tclÎç l£ àpyjiz iùStixiç. prima? rectx.

r a z

E; yap S~vvotIv , iirt tmç ciIthi; ilôitaç t?ç AB , <fW» Talc avT(t7ç tvBtiatç tolÏç AT , TB aXXai S~vo tùôtTat ai1 AA , AB Irai ixaripa. tzxTtpa. <rvvi<fToLTU<rciv , rrpcç aXXu xa) aXXa

WAJJ.ÛU T6? Tê T KO.) A , iTTl TCt aVTO. //ê'pH TI

T, A , Ta jïUTa TTipctTa. i^ovtra.1 Ta A, B2* u<m tanv tirai Ttie fXiv TA Tt? AA , to avTO 7rîpaç

Si enim possibile , super eàdcm reclâ A8 duabus eisdem rectis AT, TB, alise duae recta; AA , AB a;quales utraque utrique constituante ad aliud et aliud punctum r et A, ad easdem partes , r , A , et eosdem terminos habenles A , B ; ila ut a?qualis sit quidem TA ipsi A A , eum- dem terminum habens quem illa , punctum A ,

au triangle ArB , le plus petit au plus grand, ce qui est absurde ; donc les droites AB, Ar ne sont pas inégales; donc AB est égal à Ai". Donc, etc.

PROPOSITION VII.

Sur une même droite, et à deux points différents placés du même côté, on ne peut pas construire deux droites égales à deux autres droites, chacune à chacune, et ayant les mêmes extrémités que ces deux autres. >

Car, si cela est possible, sur une même droite A, B, et à deux points différents r et a, placés du même côté, construisons les deux droites aa , ab égales à deux autres droites Ar, tb, chacune à chacune, et ayant les mêmes extrémités A, B; de manière que la droite ta soit égale à" la droite AA, et ait la même extrémité a que

3*

i8 LE PREMIER LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.

i •xjivaa.v a.<*T» to A, thv <Tè TB t» AB , ro aùro TB vero ipsi AB , cumdem terminum lia])ens

7ripttç Xyo\j<7a.v olÙtS to B* y.ai tWiÇiù^bai ti TA' quem illa, punctum B ; et jungatur TA; (et ipsoe

(x«* al Br, BA tKÙëXntrôairctv W tùôiiaç tir) Br , BA producanlur in directuin ad E, Z.) TaE, Z3.)

r a z

E;re/ cii/v i<rn i<rriv « Ar tii AA, i«-<i ts-ri xai yuvict n V7io ATA t1 lira AAT' /utiÇav apct » Jtto AAr tmç û^o ArE' 7rcXKa apct « ôwo TAZ /AtiÇuv is-r) thç J?ro AÎE. naA/c tmi imt i<rnv « TB tm AB , JV« 6<tt) Koà juvi* « t//TO TAZ ywia rn v7ro ATE. EiTé/^S» Si aÙTMj xaî 7ro>,Xu [AtiÇav , "s7tiù irrh àSûvctrov. Ovx. apct lir) , xcti Ta t%îiç .

Quoniam igitur aequalis est AT ipsi AA , aequalis est et angulus ATA ipsi AAr ; major igitur AAr ipso ArE ; niullo igilur TAZ major est ipso ArE. Rursus quoniam aequalis est TB ipsi AB , aequalis est et angulus TAZ angulo ATE. Ostensus est autem ipso et multo major, quod est impossibile. Non igitur super, etc.

nPOTASIS ».

PROPOSITIO VIII.

Estf Sûo Tpiywtt rciç Juo nteupàç to.7ç «Tus-) Si duo triangula duo latera duobus lateribns

vMupaïi; Jtuf tyjq , 'tKcntpav tKaripct, e^i) SI aequalia liabeant, utrumque utrique , habeant

xsei t»v fiâtriv th Qûarti ï<r»v xa) t»c ywictv t« autem et basim basi aequalem ; et angulum an-

ywia. ïo-iivïÇa, thc vtto ruv 'Uw tù9s«wc Tripi- gulo xqualem babebunt, ab aequalibus rectis

lyoïxivm .

contentum.

celle-ci , et que la droite rB soit égale à la droite ab, et ait la même extrémité B que celle-ci; joignons ta, (et prolongeons Br, BA vers les points E, z.)

Puisque Ar est égal à aa, l'angle ArA est égal à l'angle AAr (5) ; donc l'angle AAr est plus grand que l'angle ArE; donc l'angle taz est beaucoup plus grmid que l'angle ArE. De plus , puisque rB est égal à ab , l'angle taz est égal à l'angle ArE ; mais on a démontré qu'il est beaucoup plus grand , ce qui est impossible. Donc, etc.

PROPOSITION VIII. -

Si deux triangles ont deux côtés égaux à deux côtés, chacun à chacun , et s'ils ont la base égale à la base , les angles compris par les côtés égaux seront égaux.

LE PREMIER LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE. 19

Eot« <ftîo Tpiyooi'a. t« ABI", AEZ, t*ç S\jo Sint duo triangula ABr, AEZ, duo latera AB ,

■xXivpàç ràç' AB, Ar TetTV <fW« ^>É!>Ba7V tï^ Ar duobus lateribus AE , AZ aequalia habentia

AE, AZ ïczç t^orrae, ixarîpay iKarîpa , twi< utrumqueutrique, AB quidem ipsi AE , Ar veio

/msi» AB tI) AE , t»c <Ti Ar tS AZ* *X*TU ^ Ka' -'PS* AZ> tabcat autem et basim Br basi -EZ

fiâtrtv thi' Br @£<ni t« EZ îV>iv* Xtyu ot/ «ai aequalem; dico et angulum BAr angulo EAZ

yavia * ùno BAT ^»c/f T>» »**$ EAZ ss-w i'an. esse aequalem.

Etpap/xoÇc/xtrov ^àp tov ABr Tpiyûrcv tv) ro AEZ rpiywov , x.at Tiôt/uiivov toZ /xiv B mixtiou

i7tl TO E (THfJ.i7oV , TMf <fè Br tùôtiotç I7tl TW EZ ,

tpap/xoni y.a) to T mtjutToy t7r) to Z , <fià to isvty e<pa/ t»v Br t!)' EZ* itpa.pjnoa-a.Tnc JS» th? Br tw* th? EZ, ttpap/xo<rov<ri x.ai ai BA, TA tTtt \ raç EA , AZ. E/ j-àp fiânç /J.tv » Br Itt/ Qatriv thv EZ ipap/xÔTti , ai <fe BA, Ar 7rXivpa) Itt) Taç EA , AZ ou» \<Çap/Ao(,ovFlv , àXXa TrapaX- XâÇovriv, âç aï EH, HZ, o-uo-TttÔMVocTtti , £77/ th? œtiTMj eûôê/aç , JWî raîç avraîç ivôstaiç a/Àa/ J'uo tùùiîai '/irai, txarîpa éxarêpos, ^rpèf

Congruente enim ABr triangulo ipsi AEZ tn'an- gulo, etposito quidem B puncto super E punctum, Br vero recta super EZ , congruet et r punctum ipsi Z , quia acqualis est Br ipsi EZ ; congruente igitur Br ipsi EZ , congruent et BA , TA ipsis EA, AZ. Si enim basis quidem Br basi EZ con- gruat, BA , AT vero latera ipsis EA , AZ non congruant , sed situm mutent ut EH, HZ, constituentur super eâdem rectà duabus rectis aliae duae rectae oequales , utraque utrique , ad aliud et aliud punctum , ad easdem partes , eosdem terminos habentes. Non constiluuntur

Soient les deux triangles ABr, aez, ayant les deux côtés ab, Ar égaux aux deux côtés ae , az , chacun à chacun, le côté AB égal au côté ae , et le côté Ar égal au côté az ; qu'ils aient de plus la base Br égale à la base ez ; je dis que l'angle BAr est égal à l'angle eaz.

Car le triangle ABr étant appliqué sur le triangle AEZ , le point b étant placé sur le point E , et la droite Br sur la droite EZ , le point r s'appliquera sur le point Z, parce que Br est égal à EZ; la droite Br s'appliquant sur la droite EZ , les droites BA , ta s'appliqueront sur les droites EA , AZ ; car si la base Br s'appliquant sur la base EZ , les côtés ba , Ar ne s'appliquaient pas sur les côtés ae , az , et prenaient une autre position, comme eh, hz, on pourrait construire sur une même droite , et à deux points différens placés du même côté , deux droites

20 LE PREMIER LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.

«AAm xttt àAAai n/xiiu , m Ta aura, /uuîù» , rà. eu/Trt 7Ttùa.Ta. i%ovr<ti. Ou svv Krra.vTa.1 <Tê* ovk aptt, t<f>eif)jAoÇo/A.tvtiç tîîç Br fiotnui êwj t»c EZ ^aw , ovk i<pa.c/AÔ<rcvo~i xa) *î* BA, Ar Trtevpcti ari Ta? EA , AZ. Etpapfjiorovtrtv aca." u<rri xctt yavtct « Otto BAr t7ri ywvietv thv t/wo EAZ eipap- ywors/ , x«( is-» «Ùt« 6^Ta/. Eàf «pa <Tuo , y.ai

nPOTASIS 6'.

Tmc Po&tTo-ttv ywictv iù&ûypot/ji,fj.ov <T<^a TSyat/)-. E«T« » «fbflêïirct ytùvïa. tùBvypa.fÀ,fjiOç , ;i J/7T9 BAr* cTt? <TVi <*Ùt;ic JV^a T^us/y.

quidem. Non igitur , congruente Br basi EZ basi , non congruent et BA , Ar latera ipsis EA , AZ. Congruent igitur ; quare et angulus BAr angulo EAZ congruet, et aequalis ei erit Si igitur duo , etc.

PROPOSITIO IX.

Datum angulum rectilineum bifariam secare. Sit datus angulus rectilineus BAr -} oportet igitur ipsum bifariam secare.

Ï/Ajîpflw ykp ' 'vrri t»ç AB ruylv a-n/Liiîov to A, Sumatur enim in AB quodlibet punctum A ,

««* à<p»pw<rôû> À7to TÎiç AT t») AA 'nm « AE, «a» et auferatur ab Ar ipsi A A sequalis AE , et

Ve£êû%fl« m AE , «.ai <ruvt<rrâ.Ttù liri th? AE jungatur AE, et constituatur super AE trian-

Tpiyww l<n7rtevpov to AEZ , xoti iwtÇeu'^flw gulo sequilatero AEZ , et jungatur AZ ;

égales à deux autres droites , chacune à chacune , et ayant les mêmes extrémités que ces deux autres • mais elles ne peuvent pas être construites (7) ; donc la base Br s'appliqiiant sur la base EZ , les côtés ba, Ar ne peuvent pas ne point s'appliquer sur les côtés ea , az ; donc ils s'appliqueront les uns sur les autres ; donc l'angle BAr s'applique sur l'angle eaz ; donc il lui est égal. Donc , etc.

PROPOSITION IX.

Partager un angle rectiligne donné en deux parties égales. Soit BAr un angle rectiligne donné ; il faut le partager en deux parties égales. Prenons dans la droite ab un point quelconque a , retranchons de la droite Ar une droite ae égale à la droite aa; joignons ae? sur la droite ae , construisons

LE PREMIER LIVRE DES

n AZ* Xtyu on n V7rï BAr yuvia, Jïpt* rir/xt)ra.i vvo r»ç AZ tùflê/a?.

Ewei ^ap ht» trriv « AA t» AE, ko/?» <U » AZ, Joo Jm a» AA, AZ JW* Ta<j EA, AZ «Va/ t/Vie , lx.a.ripa. txarîftf. , ncù fiairiç M AZ /3a<rei ry EZ «V» jaT»* yuvia. àpct n inro AAZ ^«v/et

T» iVè EAZ l'ait t«r/*> *.

H ap* «Tbflerra ^wv/e*. eiîflô^pa/^ioç, » U7ro BAr, JV^a rir/jwra.1 Ôtto t«ç AZ sùfle««ç. Owtp s<ft/ 7ronia-et,i.

nPOTASIS I.

TnvS'oÙtîe-av tùôtîav 7rt7rtpa.<riJ.iY)iv £1%* rt/A.tîv.

Estai » <fo9e?<ra tù6e?a 9rsTsctta7*êHi ' H AB*

cil JVi tuf AB ivdtlav TrtTêpotaTXêfHf JVjt* Ty*sîr.

ÉLÉMENTS D'EUCLIDE. 21

dico BAr angulum bifariam secari ab AZ rectâ.

Quoniam enim a:qualis est AA ipsi AE , com- munis autem AZ , duse A A , AZ duabus E A , AZ aequales sunt , utraque utrique , et basi» AZ basi EZ aequalis est; angulus igitur AAZ angulo EAZ œqualis est.

Datus igitur angulus rectilineus BAr bifariam secatur ab AZ rectâ. Quod obortebat facere.

PROPOSITIO X.

Datam rectam terminatam bifariam secare. Sit data recta terminata AB; oportet igitur AB rectam terminatam bifariam secare.

Tunfra.ru tTr ttvrîiç rf>iya>vor i<ro7rMvpot Constituatur super ipsâ triangulum sequila-

to ABr, x.a.) rtr/j.ti(r6a> ti vtto ATB yuvia. ft^ft terum ABr, et secetur ArB angulus bifariam

le triangle équilatéral aez ( i), et joignons az • je dis que l'angle BAr est partagé en deux parties égales par la droite az.

Puisque aa est égal à ae, et que la droite az est commune, les deux droites aa , az seront égales aux deux droites EA , az , chacune à chacune ; mais la base az est égale à la base ez; donc l'angle aaz est égal à l'angle eaz (8).

Donc l'angle rectiligne donné BAr est partagé en deux parties égales par la droite az ; ce qu'il fallait faire.

PROPOSITION X.

Partager une droite donnée et finie en deux parties égales. Soit donnée une droite finie ab ; il faut partager la droite finie ab en deux parties égales.

Construisons sur celte droite un triangle équilatéral ABr ( i ) , et partageons

a->. LE PREMIER LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.

t« TA tûfle/'et' *îyu ort » AB sûôêîa fiya. ab TA reclà; dico AB rectam bifariam secari -rirpurat x«t« to A mpûovt in A puncto.

r

A B

Eweî yàf ÎV» t<rr/f if Ar tJ» TB , xo/i/à «Ti Quoniam enim œqualis est Ar ipsi TB f com-

» TA, <Tuo <fi» a» AI", TA fus) Ttt7ç BI" , T&ts-xi munis autem TA , duae Ar, TA duabus Br,

tU)r, èxarép* IxaTtpa., y.u) ymia. » l-7to ArA TA aequales sunt , utraque utrique , et angulus t

yuviif. Ttf U7rl BTA î'<r» t«r/ *• fiâsii àpet » AA ATA angulo BrA œqualis est; basis igitur AA

j8«o-e/ t» BA iV»t êo-T/f \ basi BA œqualis est.

H ipa. cfbôs?o-a ti&ûa. 7ri7rtpa.spîiti îi AB JY^a Ergo data recta terminata AB bifariam se-

TtrpnTM zaTa to A. Çiïrtp ti\i woimfui. catur in puncto A. Quod oportebal facere.

nPOTASIS /*. PROPOSITIO XI.

T» M%in eùflê/çt, à7ro tou TTpoç avrn foètvroç Data; rectae , a puncto in eâ dato , ad rectos '

stiuiiou, vùb( èpSàç yavicti «ù9*?ae yfctpptiy angulos rectam lineam ducere.

àyityuv.

Es-™ i /Mt Mùmt w8t7* h AB, to <Tt Mit Sit qui*™ data recta AB , datum ver»

StljJL

aov

W ctùrHç to r- ht <f» i^ro roS r mpiîou punctum in eâ T; oportet igitur a r puncto ipsi

t« 'AB iÛOiiV wfU If 9*î 7*rt*e tiitîaf y f appât AB reclx ad rectos angulos rectam lineam ,

> ' ~ ducere.

etyecytfv,

l'angle ArB en deux parties égales par la droite ta (g) ; je dis que la droite ab est partagée en deux parties égales au point A.

Car puisque la droite Ar est égaler la droite tb, et que la droite ta est commune, les deux droites Ar, ta sout égales aux deux droites Br, ta, chacune à chacune; mais l'angle ArA est égal à l'angle BrA ; donc la base aa et égale à la base ba (4).

Donc la droite donnée et finie ab est partagée en deux parties égales au point A; ce qu'il fallait fairet

PROPOSITION XI.

A une droite donnée, et à un point donné dans cette droite, mener une ligne droite à angles droits.

Soit AB une droite donnée , et r le point donné dans cette droite ; il faut du point r mener à la droite ab une ligue droite à angles droits.

LE PREMIER LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE. a3

E<A«<p8» Î7ri th? AT tu%w «i;wîor ro A, Sumatur in Ar quodlibet punctum A, et po- stai kiMa if TA 1<nt » TE , xa) <n/)<t jv*tù> eTr» natur ipsi TA aequalis TE , et constituatur super T?f AE rpiymov WcTttevpov to ZAE , xa) \-n- AE triangulo aequilatero ZAE , et jungatur tÇttîfcfla » IV Xiyu cri rS Mtisri tùQita r» AB, zr ; dico data; reclâe AB a dato in eâ puncto àno rov ?rpo( clÙt» MtvToç m/Mtov roî! T , Trpoi r, ad rectos angulos rectam lineam duclara. ôpOàç -yuriaç iùbiïa. ypafx/jLi\ hxrai « ZI". esse Zf.

A A

E?rti >àp ÎVm îffT«v « TA th TE, icoiy» Si

» rz, Sio Si al at, rz JWî T<t?ç Er , rz îV*/

t/Fie, ixaripa txaripa, xa« fiatriç » AZ $a<re< TH ZE ira ê«-r/* ^wc/a àpct « u:ro ArZ >&>dçt th Ûtto ErZ ira Itrr) , xai tlo-iv tÇiÇîiç. Ot«v St tùùt7a \?c tvèûav rrcSufcL Taç IpsÇJf? yeevietç itraç aXXiXaiç iroiS , cpôti ixaTtpa. tuv 'nra>v ywviuv timv'' cpù» apa \<rriv ixempa. rav vtto

ATZ , ZrE.

Th apa, ScStlirn iùôiia. th AB , ènro toC 7rpoç

air» Sû&Îvtoç <m/j.t'icv tov T, rrpcç opôaç yuviaç lùùtla "}pa[Â.fÂ.n hxTai* » Zr. Oîrep iSïi 7iow<rai.

Quoniam enim sequalis est TA ipsi TE , com- munis vero TZ , duœ sane Ar , rz duabus Er , rz aequales sunt utraque utrique , et basis AZ basi ZE aequalis est ; angulus igitur Arz angulo Erz acqualis est , et sunt deinceps. Quando au- tem recta in rectam insistens deinceps angulos aequales inter se facit , rectus uterque aequa- lium angulorum est ; rectus igitur est uterque ipsorum Arz, ZrE.

Ergo datae recta» AB a dato in eâ puncto r, ad rectos angulos recta linea ducta est TZ. Quod oportebat facere.

Prenons dans la ligne droite Ar un point quelconque a, faisons te égal à ta (3), construisons sur ae le triangle équilatéral ZAE, et joignons zr ; je dis que la droite rz est menée à aDgles droits à la droite ab du point r donné dans cette droite.

Car puisque la droite ta est égale à la droite TE, et que la droite rz est commune, les deux droites Ar , rz sont égales aux deux droites Er, rz, chacune à chacune ; mais la base AZ est égale à la base ZE; donc l'angle Arz est égal à l'angle Erz (8); mais ces deux angles sont de suite, et lorsqu'une droite placée sur une droite fait les angles de suite égaux entre eux , chacun des angles égaux est droit (déf. io) ; donc chacun des angles Arz, zrE est droit.

Donc la ligue droite zr a été menée à angles droits à la droite donnée AB du point r donné dans cette droite.

24 LE PREMIER LIVRE DES ELEMENTS D'EUCLIDE.

nPOTASIS ,ft. PROPOSITIO XII.

E7rj rnv MutAf tù9t?<xc aTrtipov , etvo roS MîvToç nfÂÀtov , o /*« î<rr/y W avrSç, xetùtTov tt/ôe/ôtf ypct(jt.{jiHV àyetytlv.

'Erra ti fx\v cTbStMtc tùôiïct aTTê/poç « AB, to <îl (Tiôêe <my.iïov , ô yt*« «jt/c s^t *uT»f, to r* «fie? <f» t7r< thv cTofleTiw tùdtîttv ATrufOv t»v AB ,

à.710 TOU foùtVTOÇ F»fX,ii0U TOtî T , 0 [JW 6!TT/C «7T

«wtÎÏc;, xa'fleTov tùflêîac yfctfA.[Ativ à.yetyt7y.

Super datam rcctam infinitam, a dato puncto , quod non est in eâ , perpendiculareni rectam lincam ducere.

Sit quidem data recta infini ta AB , datum vero punctun? r , quod non est in eâ ; oportet igitur super datam rectam infinitam AB , a dato puncto r, quod non est in eâ, perpendiculareni rectam lincam ducere.

EÎAiipôw yctf \-rn ta. tTjpee fiepn twj AB tôSt/etc; Tvylv mfMÏcv to A , xaà jtîvTp» /*tv t£> T, £ia.<rr»iAa.Tt S\ ru TA , JctîxXoç ytypâ<pQa> o EZH , Ktti rtr/nMu » EH tùôiiet' $~txA x-etrà to 0, nu) tVtÇîi/%6fti«tv eu' TU, T0, TE tùôiîai '• XÎyu cri i7rt thv cTofle/irav tù6tîa.v amibov thv AB, kma roiï S'oQÎvtoç m/xiiov toÛT, o /ah i<rriv Itt o.uthç,

xÂdiTOÇ HKTCC.I tl T0.

Sumatur enim ad alteram partem AB rectse quodlibet punctum A , et centro quidem r, intervallo autem TA , circulus describatur EZH , et secetur EH recta bifariàm in © , et jun- gantur TH , r© , TE recta; j dico super datam rectam infinitam AB , a dato puncto T , quod non est in eâ , perpendiculareni ductam esse r©.

PROPOSITION XII.

A une droite indéfinie et donnée, et d'un point donné qui n'est pas dans cette droite, mener une ligne droite perpendiculaire.

Soit AB une droite indéfinie et donnée , et r un point donné qui n'est pas dans cette droite; il faut à cette droite indéfinie et donnée AB , mener du point donné r qui n'est pas daus cette droite , une ligne droite perpendiculaire.

Prenons de l'autre côté de la droite ab un point quelconque A , et du centre r et d'un intervalle ta, décrivons le cercle ezh (dem. 5) , partageons la droite eh en deux parties égales au point e(io), et joignons rH, r©, te ; je dis qu'a la droite iudéfinie et donnée ab , et du point donné r qui n'est pas dans cette droite, on a mené une perpendiculaire r©.

LE PREMIER LIVRE DES ELEMENTS D'EUCLIDE. a5

E7T4I yap ï<rn ittiv h H© tîT ©E , xoiv» <Ts « ©T , <fuo ^h ai ©H , ©r <JWi t*?ç E@ , ©r 'lirai ù<nv , ixaTipa zza.TÎùa , «a/ Qclth; » TH /3sts-êi t» TE t<rr)v ïw yuvia a fa h vira r©H ywiç t« ûrro E©r \<rviv JV», xw ê«V/c l<pe£»?. Orav «Tè tùQiîa iit tùBtîav rraBila-a Taç tiptçiiç yuviaç uraç aX\i\Xat{ rroin , oc6» txartfa tuv ivm ywiw Ittiv^' xai » t<pt<rrnxu7a tvètîa xaônoç xaXûrat iç »v tÇirruKtv.

Etj tdc S*oùî7<rav ap« tvfiûav anutov thv AB,

SC5T0 TOU S'oOiVTOÇ TilfXilOU TOU V , 0 JU.M SffT/V 67T

aurîiç, xâôtToç nxTat » 10. O^rip ê<Te/ 7rot»irai. ITP0TA2I2 <}-'.

E<xe ' tuBiîa t7r ttiSiïav rraôtîtra ywiaç wo/jT* hto/ Svo opùaç , m JWie cpûalç uraç ttoiwm.

EÔBtîa yâp T/f » AB ê7r tùiïiïav thc TA ffTafls/irst yuvlaç voitira , Ta? i/tto TBA , ABA* Xiyu cri ai vvo TBA, ABA ywiai , hto/* Jwa oc9a« ê/V/v, » JW)k èpflctTî ira/.

Quoniam enim sequalis est H0 ipsi ©E , communis autem ©r , dua: utique ©H , ©r duabus E0 , ©r a:quales sunt, utraque utrique, et basis TH basi TE est œqualis ; angulus igifur r©H angulo E©r est œqualis , et suut dciuceps. Quando antem recta in rectam insistens j deinceps angulos aequales inter se facit , rectus uterque aequalium angulorum est j et insistens recta perpendicularis appellatur in quam insistit.

Super ila tam igitur rectam infinitam AB a dato puncto r quod non est in câ , perpendicularis ducta est r©. Quod oportebat facere.

PROPOSITIO XIII.

Si recta in rectam insistens angulos faciat, vel duos rectos , vel duobus rectis aequales faciet.

Recta enim quaedam AB in rectam TA in- sistens angulos faciat TBA, ABA; dico TBA, ABA angulos , vel duos rectos esse , Yel duobu» rectis aequales.

Car puisque la droite H© est égale à la droite ©e , et que la droite ©r est commune, les deux droites ©r, ©H sont égales aux deux droites E®, ©r, cha- cune à chacune ; mais la base th est égale à la base rE (déf. i5); donc l'angle r©H est égal à l'angle E®r (8); mais ces deux angles sont de suite, et lorsqu'une droite placée sur une droite fait les angles de suite égaux entre eux , chacun des angles égaux est droit , et la droite placée au dessus est dite perpendiculaire à celle sur laquelle elle est placée.

On a donc mené r© perpendiculaire à la droite indéûnie ab , du point donné r placé hors de cette droite. Ce qu'il fallait faire.

PROPOSITION XIII.

Si une droite placée sur une droite fait des angles , elle fera ou deux angles droits , ou deux angles égaux à deux droits.

Qu'une droite AB placée sur une droite ta fasse les angles rBA , aba ; je dis que les angles tba , aba sont ou deux droits , ou égaux à deux droits.

4

26 LE PREMIER LIVRE DES

E/ fAv otv ïm\ ttrrh vt Citto TBA t>7 i/7ro ABA , «Mo lobai ilo-iv. E/ îi ou , h^Sm ewro tou B mpiiov r» TA tvQiia * vooç ôpâàj h BE" ai aca îi7ro rBE, EBAiftîo lobai MOT, Keti tvrù n h-no TBE Jt/<r» t*7ç vvro TBA, ABE !V» t<rr), x.oiv» irpoTKtMa a Ûtto EBA' etî apet ûwo TBE , EBA Tp/<r< T*?f Û77-0 TBA, ABE, EBA îVot/ lî«'f. IletA/c, 6778» « iÎ7t« ABA <Tiyo-) raje t>7io ABE , EBA \n\ tsri ,

ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.

Si igitur quidem xqualis est TBA ipsi ABA , duo recti sunt. Si vero non , ducatur a B puncto TA recta; ad rectos ipsa BE ; ergo rBE , EBA duo recti sunt. Et quoniam rBE duobus TBA , ABE asqualis est, commuais addatur EBA • ergo rBE, EBA tribus TBA , ABE , EBA acquales sunt. Rursus , quoniam ABA duobus ABE , EBA œqualis est , communis addatur ABr ; ergo

xùivh Trpow.iM(ù » u7ro ABr* etîapot5 litb ABA, ABr Tp/r» tuai; \jtto ABE , EBA , ABr Ïmu ùtriv. Eo\i%Qtto-av S% x.ai etî vtto TBE , EBA Tp/er» raîç auTctiç trot' tx ai ra «kto ira, icai aXXn^oiç tcrriv MT Ktti aï v7ro TBE , EBA a.ùet tcuç ùvo ABA, ABr ïtroii uni' àAAot etî ti7ro TBE, EBA S\to tpôa» tîaï, xa) où t7ro ABA, ABr apot ilinv opOoLtç lirai uni. Eetf ocpet, xet* T« eÇ«f.

ABA , ABr tribus ABE , EBA , ABr œquales sunt. Ostensi sunt autcm et TBE, EBA tribus cisdem aiquales; quae autem eidem xqualia, et inter se sunt xqualia ; ergo et TBE , EBA ipsis ABA, ABr a:quales sunt; sed TBE , EBA duo recti sunt; ergo et ABA , ABr duobus rcctis a:quales sunt. Si igitur, etc.

Car si l'angle tba est égal à l'angle aba, ces deux angles sont droits (déf. 10). Si non , du point b conduisons be à angles droits à ta (i i); les deux angles tbe , eba seront droits ; et puisque l'angle rBE est égal aux deux angles tba, abe, si l'on ajoute l'angle commun eba , les angles rBE , eba seront égaux aux trois angles tba , abe , eba. De plus , puisque l'angle aba est égal aux deux angles abe , eba , si l'on ajoute l'angle commun ABr , les angles aba , ABr seront égaux aux trois angles abe , eba , ABr. Mais on a démontré que les angles rBE , eba leur sont égaux ; et les grandeurs égales à une même grandeur sont égales entre elles ; donc les angles tbe , eba sont égaux aux angles aba , ABr ,- mais les angles tbe , eba sont deux angles droits ; donc les angles aba ; ABr sont égaux à deux droits. Donc, etc.

LE PREMIER LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE. 27

PROPOSITIO XIV.

nPOTASlS if. Eciy ttùoç rivi tù&il*, «*» T<j> npoç otùrn

CH/XilU , S)J0 ivètTltl , /*» 67»"' T* ttVTIX. fxîpW

KiifAiVAi , t«ç ttptÇtis yuvictç S\i<rtv apBa.7ç itrat 7T0lôi<rtv, Itt ivQtla.çZtrovTa.1 a.\\l\ha.iç ttl tu8t7a.i.

TlpU yâp rm iùStia, th AB , tut) rf wpèf aÙTH CTt/AHu tù> B , <Tb'o tv9e7«/ ttS hT, BA, /xw «Tri t* aÔTa /ws'pM Kti/xivcu, rà.ç tÇttjîiç yuviaç Tstç V7J-À ABr, ABA JW* opôa/f frac rrotihamy hîyu on t7r tv6tict,ç \<rn tm TB « BA.

E/ yàp ftti \<rti t« Br W %if)ii*t ») BA , Ïftu t« TB *w' tyfli/stf « BE.

Si ad aliquam rectam, et ad panctum in eâ, duae rectœ , non ad easdem partes posilae, deinceps angulos duobus rectis aequales faciant , in directuxn erunt sibi ipsis rect».

Ad aliquam enim rectam AB , et ad punctum in eâ B , duœ rectœ Br , BA , non ad easdein partes positse , deinceps angulos ABr , ABA duobus rectis aequales faciant; dico in direc- tum esse ipsi TB ipsam BA.

Si enim non est ipsi Br in directum BA , sjt ipsi ru m directum ££.

.Ê A

Eirt) ovv tiùtîa. a AB \ir toiuat tmk TBE Quoniam igitur recta AB super rectam TBE

IçtTTnitiv, ai cipa. vtto ABr , ABE y-uvteu JWjk iusistit , ABr, ABE anguli duobus rectis sequa- hpQxîç inu ù<riv %m <f* xxi <tï lito ABr, ABA les sunt; sunt autem et ABr, ABA duobus

PROPOSITION XIV.

Si à une droite, et à un point de cette droite, deux droites, non placées du même côté font les angles de suite égaux à deux droits, ces deux droites seront dans la même direction.

Qu'à une droite ab, et à un point B de cette droite, les deux droites Br, ba , non placées du même côté, fassent les angles de suite ABr, aba égaux à deux droits; je dis que ba est dans la direction de tb.

Car si ba n'est point dans la direction de Br, que be soit dans la direction de tb ( dem. 2 ).

Puisque la droite ab est placée sur la droite tbe, les angles ABr, abe sont égaux à deux droits (i3); mais les angles ABr, aba sont égaux à deux droits;

28 LE PREMIER LIVRE DES

filfh èpôaîç 'tarai' ai àpa otto TBA, ABE Ta7( înro TBA, ABA irai tiri. Koivh a<p«pMa-ô&> w v7ro TBA* Xoi7rti iact » Û970 ABE Xoi7rn r» v7ro ABA ««rie JVj» , » «Acta-ir&ic tm //.tiÇovi, ovtp ia~r)v «JucctToc. OÛk a.pa tvr tuBiiaç m~Ti¥ m BE t? BI". O/jlo'mç JV) SïiHjcfAiv.yÎTi oùSi ItM» T/f TrPlMC T«f BA* \ii ivBtictç àpa îffT/f » TB Tjî' BA. Eac ecpce, xaj Ta »ÇJtf.

nPOTASIS lê.

Eac «Tb'o tùBtîat Tt/nvuinv aXXuXaç, tclç narra. Kcpuiptiv ymiaç ira.; «A»Aa/f 970/«9"oi/«.

ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.

rectis sequales ; ergo TBA , ABE ipsis TBA , ABA acquales sunt. Communis auferatur TBA : reliquus igitur ABE reliquo ABA est aequalis , minor majori, quod est impossibile. Non igitur in directum est BE ipsi Br. Similiter autem ostendemus neque esse aliam quamdam praeter BA ; in directum igitur est TB ipsi BA. Si igitur, etc.

PROPOSITIO XV.

Si duae recta? sese secent, ad verticem angulos sequales inter se facicnt.

Ai/'o yap tv&ûai al AB , TA rt/tvlrurav àx- Duœ enim rectae AB , TA sese secent in E

XiXaç xarà rè E (n/xuav Xtyu on 'in ttrriv à puncto ; dico aequalem esse quidem AEr an-

jutc vtto AEr yavia t» ûwè AEB , » Si vvo TEB gulum ipsi AEB , TEB vcro ipsi AEA. Ty iiro AEA.

donc les angles TBA, ABE sont égaux aux angles rBA, aba. Retranchons l'angle commun tba , l'angle restant abe sera égal à l'angle restant aba , le plus petit au plus grand ; ce qui est impossible, be n'est donc pus dans la direction de Br. Nous démontrerons semblablement qu'il n'y en à point d'autre excepté BA; donc TB est dans la direction de ba. Dune, etc.

PROPOSITION XV.

Si deux droites se coupent mutuellement, elles font les angles au sommet égaux entre eux.

Que les droites ab , ta se coupent mutuellement au point E ; je dis que l'angle AEr est égal à l'angle aeb , et l'angle teb égal à l'angle aea.

LE PREMIER LIVRE DES

Ewù yÀf tù8t7* » AE W tùQtîay thc TA tçîirTtiM , yuviaç Ttotovira rà; vire rEA, AEA* ai apa v7ro TEA , AEA yuviai <JW)f ôpôaK 'lirai ù<ri. ïlâ^iv , iwtj *ûfl«î* » AE tar' tùfleîaf T«» AB l<pî<TT)iKt , yuviaç 7roiov<ra. raç v7ro AEA , AEB' aï apauTO AEA, AEB ^«i'«'a« <JW/c ôpôaîç î'crai jifl-<V. E<fW%fl«<rai' il xa) aï vtto TEA , AEA i\j<rh opôaïç ïraf aï apa uni rEA, AEA t*7ç ino AEA, AEB JVa< ti«. Ko/y» àçypMco » uni AEA , A0/7™ apa « vtto TEA Ao^tT tii Û90 BEA lia-» irrfr, O/xoiuç <T*i <T«/^6>i<rêTa/, otj *ai a< Û7T0 ÎEB , AEA irai tïtriv. Ea> apa Me,

xaj Ta tÇwç .

IIPOTASIS «f.

ÉLÉMENTS D'EUCLIDE. 29

' Quoniam enim recla AE in rectam TA in- sistit angulos faciens rEA, AEA; ipsi TE A , AEA anguli duobus rectis aequalcs sunt. Rursus, quoniam recta AE in rectam AB insistit , angulos faciens AEA , AEB j ipsi AEA , AEB anguli duobus rectis aequales sunt. Ostensi sunt autem et rEA , AEA duobus rectis aequalcs ; ergo rEA, AEA ipsis AEA, AEB aequales sunt. Communis auferatur AEA , reliquus igitur TEA reliquo BEA a?qualis est. Similiter autem os- tendemus et TEB , AEA esse aequales. Si igitur duo, etc.

PROPOSITIO XVI.

nai'Toç rpiymovfjiiaçrZv TrXîupéov -!rpo<nyXxn- Omnis trianguli uno laterum producto , exte-

ÔuVmj', » iKTog yuv'ia. tKaripaç tw ivtqç x-a) rior angulus utroque interiorum et oppositorum

àntvavtïav yaviuv * fjuiÇùcv Xrrït. angulorum major est.

E<ttû> rpiywov ts ABr , xa) 7rpo<nxCtCxM(o Sit triangulum ABr , et producatur ipsius

ai/rôti fxla TtXtvpà » Br l-n) to A* hiyu Ht/ urmm latus Br ad A; dico exteriorem angulum

Car puisque la droite AE est placée sur la droite ta , faisant les angles rEA , AEA , les angles rEA , AEA sont égaux à deux droits. De plus , puisque la droite AE est placée sur la droite AB, faisant les angles aea, aeb, les angles aea, aeb sont égaux à deux droits. Mais on a démontré que les angles rEA , aea sont égaux à deux droits ; donc les angles rEA , aea sont égaux aux angles aea , aeb. Retranchons l'angle commun aea ; l'angle restant TEA sera égal à l'angle restant bea. On démontrera semblablement que les angles teb , aea sont égaux. Donc , etc.

PROPOSITION XVI.

Ayant prolongé un côté d'un triangle quelconque , l'angle extérieur est plus grand que chacun des angles intérieurs et opposés.

Soit le triangle ABr, prolongeons le côte Br vers A; je dis que l'angle

3o LE PREMIER LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.

« Ikto; yuvia,, ti v7ro ArA, [/.tiÇcat* to~r)v \ka- ATA majorem esse utroque interiorum et opposi-

TÎftct; réiv ivroç ko.) à,7TiveaiTior , ruv wtto TBA, torum TBA , BAT angulorum. BAT ymtm.

Tir/xMia » Ar Six* «cercè w E, Ktti tvi- Sccetur Ar bifariam in E , et juncta BE

Çsu^flêTâ-a » BE txÇtChMw itt tv6iiaç'1t7r) ro Z, producaturin directum ad Z, et ponatur ipsi BE

k») v.tirQa twBE tn « EZ, ko.) iTsïQcùyPu à Zr , œqualis EZ , et jungatur Zr , et pioducatur

Ka) «T/m'^Ôw » Ar \<ni ro H. Ar ad H.

Etth ouv JV» êffric m /mv AE t» El", » Si BE t« EZ , «T£o <f£ ce/ AE , EB «IWî TceT? TE , EZ 'ta-cti ùinv , txarîfa. tuetripit , x&i yavia. h v7ro AEB 7&)C/'çt t» Î/7T0 ZEr Jni èfl-r) , JcceTcc Kopvçtiv ydp' |8oéV/j cep* » AB /Stém/ tw Zr JVh tor) , xat» to ABE rpiyavov ra ZEr tc/^&h'Ç) tar/i' !Voc, xat; ce/ Xonrtti yuvicti ra.7ç Xoiv»7( ywictiç irai ii7ii' , titxriptt txctTipei, vç ciç aï io~cu 7rMupa.t v7roTtivov<riv ion cepce toriv » v7ro BAE r» ûwo ErZ. Mt iÇvv Si ioriv » into ErA THf ôwo ErZ*

Quoniam igitur acqualis est quidem AE ipsi Er , BE vero ipsi EZ , duae AE , EB duabus TE , EZ œquales sunt , utraque utrique , et an- gulus AEB angulo ZEr aequalis est , ad verti- cem enim est; basis igitur AB basi Zr œqualis est , et ABE triangulum ZEr triangulo aequale est, et reliqui anguli reliquis angulis œquales sunt , uterque utrique , quos aequalia latera subtendunt; aequalis igitur est BAE ipsi Erz. Major aulem est ErA ipso ErZ; major est

extérieur ArA est plus grand que chacun des angles intérieurs et opposés

TBA, BAI".

Partageons la droite Ar en deux parties égales en E (10); et ayant joint la droite be, prolongeons-la vers z, faisons ez égal à be (3), joignons la droite zr, et prolongeons Ar vers h.

Puisque ae est égal à Er , et be égal à EZ, les deux droites ae, eb sont égales aux deux droites te, ez, chacune à chacune; mais l'angle aeb est égal à l'angle ZEr(i5), puisqu'ils sont au sommet; donc la base ab e6t égale à la base zr (4); le triangle abe est égal au triangle ZEr, et les angles restans, soutendus par les côtés égaux, sont égaux chacun à chacun; donc l'angle bae est égal a l'angle Erz (not. 9); mais l'angle ErA est plus grand que l'angle Erz ; donc l'angle ArA est plus grand

LE PREMIER LIVRE DES

juLtiÇm ifct m inro ATS t»ç inro BAE. O/xoimç <fi , thç BI" tîT/UH^V»? <T/'x*5 ^^nrtu za.) ti vtto BrH , rovriariv » W7rè ATA , fuiÇuv ko.) tmç wtto ABr. IlafTef ap*, x*» tï ê^wff.

nPOTA2I2 i?.

TlavToç rpiymou ctt «fb'o yavlcti <Tb» opôwc IxifToviç ù<ri , 7rii,)>Tn /LtiTa.Xa./ji.^a.i'o/xiva.i.

Etna rpiymov to ABr* >iyu> on tou ABr Tôiyûvov ai fûo ym'tttt S\io ooôwy «AscaToysj t/«,

TTXttTy (A.iTclX.Ol/J.ÇavÔlÀiV*!.

ELEMENTS D'EUCLIDE. 3i

igitur ArA ipso BAE. Similiter autem, Br sectâ bifariam , ostendetur et BrH , hoc. est ArA , major et ipso ABr. Omnis igitur , etc.

PROPOSITIO XVII.

Omnis trianguli duo anguli duobus rectis minores sunt, omnifariam sumpti.

Sit triangulus ABr ; dico ABr trianguli duos angulos duobus rectis minores esse , omnifariam sumptos.

Exét£x»V9& yttp » Br ?7rj to A.

Ko:/ t7Ti) Tfiywou t où ABr iktoç t<rri yuvia.

H V7T0 ArA, (JLi'lCuV \st\ TtîçtVTOÇ KO.I 0.7rtVCC.VTloV,

TÎfç Lttq ABr. Ko/ch 7rfioiTxti<r6ai » virh ArB- aX

Producatur enim Br ad A.

Et quoniam trianguli ABr exterior est an- gulus ATA, major estinteriore et opposito ABr. Communis addatur ATB- ergo ArA, ATB ipsis

apa. uni ArA , ATB toùv inl ABr, BrA pûÇent ABr, BrA majores sunt. Sed ArA, ATB duobus

que l'angle bae. Si on partage le côté Br en deux parties égales , on démontrera semblablement que l'angle BrH , c'est-à-dire ArA , est plus grand que l'angle ABr. Donc, etc.

PROPOSITION XVII.

Deux angles d'un triangle quelconque , de quelque manière qu'ils soient pris , sont moindres que deux droits.

Soit le triangle ABr; je dis que deux angles du triangle ABr, de quelque manière qu'ils soient pris, sont moindres que deux droits.

Prolongeons Br vers a (dera. 2 ).

Puisque l'angle ArA du triangle ABr est extérieur , il est plus grand que l'angle intérieur et opposé ABr (16). Ajoutons l'angle commun ArB, les angles ArA, ArB seront

32 LE PREMIER LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.

ùtriv. AAX' aï î)7ro ATA , ArB <TJo ôpôa/f lirai rectis xquales sunt ; ergo ABr , BrA duobus

ùnv' aï apa îmo ABr, BrA <TJo opôùy lxâ<r<royiç rectis minores sunt. Similiter autem osten-

ùtriv. O/xo/wj <T>i ' Sii%o/j.tv , oTiKai aï V7rc BAI", demus et BAT, ATB duobus rectis minores

ArB Ju'o ôpô«V Ixâtrtrovlç tio-i , *eù j't/ eu' 07rà esse , et adhuc ipsos TAB , ABr. Omnis

TAB, ABf. rietfTOç efpet, fceù Tet *f»î. %itur, etc.

nPOTASIS J».

PROPOSITION XVIII.

ITeti/TOf Tfiyûvoo m [aiiÇuv Trteupà rw pii^ Omnis trianguli majus latus majorem an-

Çévet ywiav iirortivti, gulum subtendit.

h<rra>yàp * rpiyayov ro ABT,fiu'iÇwa ï^ovriv Sit enim triangulum ABr, majus habens AT

Ar yrMvpav rS( AB* Mya> en xeti yuvia » ô^à latus ipso AB • dico et angulum ABr majorem

ABr ftûÇwv lirr) T«f V7T0 BrA. esse ipso BrA.

y '■ »

'ETTîiyâo fjuiiÇuv Ϋtλ » Ar tjk AB , jcu'e-Sa> Quoniam enim major est Ar ipsâ AB, 2>o-

th AB iV» » AA, xew «TrtÇio'^ôw « BA. natur ipsi AB sequalis A A , et juugatur BA.

Ketî 1-Têi rpiyeivou rou BrA èxToç tur* yuvia Et quoniam trianguli BrA exterior est an-

» t>7rà AAB, pilÇm \<n\ r»; Ivrlç xseî àvi- gulus AA3, major est interiore et opposito ArB.

rmrioy, tmç vtto ArB* 'iem fi « t>5ro AAB t? JEqualis autem AAB ipsi ABA, quia et latus AB

plus grands que les angles ABr, BrA. Mais les angles ArA, ArB sont égaux à deux droits (i3) ; donc les angles ABr, BrA sont moindres que deux droits. Nous démon- trerons semblablement que les angles BAr, ArB, et les angles tab, ABr sont moindres que deux droits. Donc, etc.

PROPOSITION XVIII.

Dans tout triangle, un plus grand côté est opposé à un plus grand angle.

Soit le triangle ABr , ayant le côté Ar plus grand que le côté ab ; je dis que l'angle ABr est plus grand que l'angle BrA.

Puisque AT est plus grand que AB , faisons AA égal à AB (3), et joignons BA.

Puisque aab est un angle extérieur du triangle BAr, cet angle est plus grand qne l'angle intérieur etcpposeArB (16); maisl'angle aab est égal à l'angle aba(5), parce

LE PREMIER LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE. 33

V7ro ABA, «7T6« ko.) Trtevpà. « AB tm AA l<rrh ipsï AA est asquale ; major igitur et ABA ipso

îff-M* [muZuv apit nai » vtto ABA thç x/rro ArB* ATB ; multo igitur ABr major est ipso ArB.

ttoAAim aç* » ûwo ABI* /«<£«? ttrri tmç û^o ArB. Omnis igitur triauguli, etc. TI&vtoç upct rpiyûvov , ko) ra, îçîiç.

nPOTASIS /6',

PROPOSITIO XIX.

n<tvroi rpiyûvoo vvo rtir /m'iÇcv* yuvittv » Omnis trianguli majorem angulum majus

/xiiÇuv TrXtvpà. vttotÛvu. latus subtendit.

E5T&) rplymov ta ABr, fiéffyv* ê^ey thc vît» Sit triangulum ABr, majorera habens ABr

ABr ymUv râV v-tto BrA* Xtya, on ko.) 7r\tvp*. angulum ipso BrA ; dico et latus Ar latcre

à Af vrtevpSis t»ç AB [m'iÇw 'arrir. AB majus esse.

Ei ><*p fA.ii , »to/ i'«i t9-r»i/ « AI" tw AB , » Si enim non ; vel œqualis est AT ipsi AB , vel

Ixio-FW ïs-ti fxivcivv ciiK Utiv » AT t»7 AB- In minor; aequalis quidem non est Ar ipsi AB ,

yàp âv %v ko.) ywict «i l-rro ABÎ t» V7ro AÎB' œqualis enim esset et angulus ABr ipsi ArB.

tbi Ïoti Si' cÙk a.p<t iVx \<rriv » AT ry AB. Non estautem; non igitur œqualis est Ar ipsi

OÙS\ [am lxâ<r<ra>v i<rr}v yi AT tiT AB' sAœavwv AB- Neque tamen minor est Ar ipsâ AB ■ minor

^àp o\v %v Kcù ycùvia. » viro ABr th j v7ro ArB. enim esset et angulus ABr ipso ArB ; non est

que le côté ab est égal au côté aa ; donc l'angle aba est plus grand que l'angle ArB ; donc l'angle ABr est beaucoup plus grand que l'angle ArB. Donc , etc.

PROPOSITION XIX.

Dans tout triangle, un plus grand côté soutend un plus grand angle.

Soit le triangle ABr, ayant l'angle ABr plus grand que l'angle BrA; je dis que le côté Ar est plus grand que le côté ab.

Car si cela n'est point , Ar est égal à ab, ou plus petit. Mais Ar n'est pas égal à ab , car alors l'angle ABr serait égal à l'angle ArB (5) ; mais il ne l'est pas ; donc Ar n'est pas égal à ab. Le côté Ar n'est pas plus petit que le côté ab , car alors l'angle ABr serait plus petit que l'angle ArB (18); mais il ne l'est pas; donc le

5

34 LE PREMIER LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.

Ovx î<tti Sî' oun àpa ï"ha.<rtrw s<rr)v >i ATrîiç AB. autem ; non igitur minor est AT ipsà AB. Os-

ESil%fl» Si oti ovSï i<rn arrï' [xtïÇw apa \rr)v tensum est autem neque aequalcm esse : major

h Ar thç AB. Tlavroç àpa, xa) rà !£«?• igitur est AT ipsà AB. Omnis igitur, etc.

riPOTASIS

PROPOSITIO XX.

Tlavrcç rpiyûvov aï Sôo irMupa) tmç Ao/tth? Omnis trianguli duo latera reliquo majora

fltiÇortç tîtri , Trivrij /AZTahafAÇavô/Litvai. sunt, omnifariam sumta.

Eirrw yàp rpïywov to ABr* Xtya oti rov ABr Sit enim tringulum ABr • dico ABr trian-

vpiyûvov aï Sùo wXivpaï th? \oi7r»ç /uulÇovîç g"H duo lalera reliquo majora esse , omni-

tifi , TrâvTff ju,iTa\afx,Çavô/u.ivat , aï fÀv BA , fariam sumpta ; ipsa quidem BA , AT ipso Br ,

Ar thç Br , aï Si AB , Br t«? Ar , aï Si Br , ipsa vero AB , Br ipso Ar , et ipsa Br , TA

TA t«î AB. ipso AB.

A/H^fla yap h BA ittj to A a-»jj,t7ov , xa) xtiirQa th TA JVh m AA, xaî tTri^ii^èa » Ar.

ETT-ti oùc î«i èirnc « AA tj Ar, i'<nt îirr} x«î yuvia » vtto AAr t« utto ArA '• fxtiÇuv apa »

Producatur enim BA ad A punctum, et po- natur ipsi TA œqualis AA , et jungatur AT.

Quoniam igitur œqualis est AA ipsi AT , aequalis est et angulus AAr ipsi ATA , major

côté Ar n'est pas plus petit que le côté ab. Mais on a démontré qu'il ne lui est pas égal ; donc Ar est plus grand que ab. Donc , etc.

PROPOSITION XX.

Deux côtés d'un triangle quelconque , de quelque manière qu'ils soient pris , sont plus grands que le côté restant.

Soit le triangle ABr ; je dis que deux côtés du triangle ABr , de quelque manière qu'ils soient pris , sont plus grands que le côté restant; les côtés ba , Ar plus grands que Br ; les côtés ab, Br plus grauds que Ar, et les côtés Br? ta plus grands que AB.

Prolongeons ba vers A , faisons AA égal à TA , et joignons Ar.

Puisque aa est égal à Ar, l'angle AAr est égal à l'angle ArA (5); donc TaDgle BrA

LE PREMIER LIVRE DES

V7TQ BrA T«ç vtt'o AAr* xai îTTt) rplywôv lirri to ArB , fttiÇova v)(cv tm vwo BrA yaviav thç

V7T0 BAr, V7T0 Si THf fMlÇoV* ywïar » fxÙ'CfiiV

vXmpa won/va, » AB apa rîiç BT \<nï fXiïCfav. la-» Si » AA T» Ar *• ptiÇoviç apa ai BA, Ar t»ç- Br. 0/xo/«ç (T« S\\^cfxiv cri xa) ai /uclv AB , Br Ti7f TA fttfÇorit ùc-iv ai Si Br j TA t»? AB. H.O.VT0Ç apa , xa) Ta i^iïç,

nPOTASIX xi.

Bav rptyiovov rm yuaç t£>v TrXevpw àiro rZv vnpaTtov Suo tùBûai ivrcç ffvtrraQunv, aï ovora- Qtîrai rùv Xoittuv tov rpiyûvcv Sûo vrXivtw \xâ<r- eovtç fj.i-y i«na/, fXiiCpva. Si yuviav 7rtpiiijovri.

Tpiyavov yàp tou ABr vni /Mac rûv TrXivpw TiK Br, O.7T0 twv 7ripâ.Tmv rZv B, T, Sûo lùBtïai ivtoç cvvtrrarairav ai BA, Ar* xiyu on aï BA, Ar 7rXtvpat ' tuv Xoi7rSv tov rpiywov Sût 7rXw- pZv tuv BA , Ar Ixâavoviç ftir t'uri , fxù^ova S\ yuviav 7ripiîyovrt, riiv Îittq BAf t»ç viro BAI*.

ÉLÉMENTS D'EUCLIDE. 35

utique est BrA ipso AAr; et quoniam triangulum est ArB, majorera habensBrA angulumipsoBAr, majorem autem angulum majus latus subtendit; AB igitur ipsâ Br est major; œqualis autem AA ipsi Ar; majores igitur BA , AT ipsâ Br. Siniiliter autem ostendemus et ipsas quidem AB ', Br ipsâ TA majores esse ; ipsas vero Br , TA ipsâ AB. Omnis igitur, etc.

PROPOSITIO XXI.

Si trianguli super uno laterum a terminis du» recta; intus constituantur , coristructae relierais trianguli duobus lateribus minores quidem erunt , majorem vero angulum continebunt.

Trianguli enim ABr super uno laterum Br, a terminis B , r , duae recta? intus constituantur BA , Ar ; dico BA , Ar latera reliquis trianguli duobus lateribus BA , AT minora quidem esse , majorem vero angulum continere , ipsura BAr ipso BAr.

est plus grand que l'angle AAr (not. 9); donc , puisque dans le triangle ArB, l'angle BrA est plus grand que l'angle BAr , et qu'un plus grand côté souteud un plus grand angle (19), le côté ab est plus grand que le côté Br ; mais aa est égal à Ar; donc les côtés ba , Ar sont plus grands que Br. Nous démontrerons semblablement que les côtés ab , Br sont plus grands que ta , et les côtés Br, ta plus grands que ab. Donc, etc.

PROPOSITION XXI.

Si des extrémités d'un des côtés d'un triangle, on construit intérieurement deux droites , ces deux droites seront plus petites que les deux côtes restans du triangle , mais elles comprendront un plus grand angle.

Des extrémités b, r du côté Br du triangle ABr, construisons intérieurement les deux droites ba , Ar; je dis que les droites ba , Ar sont plus petites que les deux côtés restants ba , Ar , et qu'elles comprennent un angle BAr plus grand que l'angle BAr.

36 LE PREMIER LIVRE DES

A/n'%9&> >àp A BA W) to E.

Ka/ \-!Tii 7rttvTûç Tpiymvcv ai S'vo 7rMupai tm? Xoittîîç pmQnxt tîirt , to? ABE apa Tpiyûvov ai S~ùo vrXivpu) a a/ AB, AE thç BE fXiïCpvki tiirr koivh TrpoTKiïaQta w JŒ* «/ àpa BA, Aï ruv BE, Er jUiiÇovtç Ùti. IlaA/c, è^êi to£> TEA Tpiywov ai S\io 7rXtupai ai TE , EA tm? TA piiiÇoriç tîiri , xo/f») 7rpotry.a<r6u m AB' a< TE , EB apa ruv TA, AB //.tiÇovîf ùtriv. AAXa twc BE, UT ftiiÇoviç ifoïybnirav ai BA , Ar* ttoAAÔÎ àp« a BA , Ar rw BA, Ar fAiiÇovtç lin.

ELEMENTS D'EUCLIDE.

Producatur cnim BA ad E.

Et quoniam omnis trianguli duo latcra rcliquo majora sunt, ABE trianguli duo latcra AB, AE ipso BE majora sunt. Communis addalur Er; ergo BA , AT ipsis BE , Er majores sunt. Rursus , quoniam TEA trianguli duo latcra TE, EA ipso TA majora sunt ; communis addatur AB ; ergo TE, EB ipsis TA, AB majores sunt. Scd ipsis BE , Er majores oslensa? sunt BA,AT; niulto igitur BA , AT ipsis BA , Ar majores sunt.

riaA/e, i-nii Travroç rpiyâvov » iktoç yavia Rursus , quoniam omnis trianguli exterior

t«ç itTcç x.a) à.TTivavricv /AtiÇeùv ta-r/' tou TAE angulus interiore et opposito major est, TAE

apa Tptyâvov » iktcç ywvia » vtto BAr fjLtiÇw trianguli exterior angulus BAT major est ipso

ttrr) tmç iWè TEA. A/à raî/Ta toivvv } tcai roS TEA. Propter eadem utique et ABE trianguli

ABE rpiywev » iktcç ymla » Ltio TEB /ULii^wr exterior angulus TEB major est ipso BAT. Sed

irr) t»ç vtto BAr. AAAst rtiç ùno TEB /xilÇuv ipso TEB major ostensus est BAr; multo igitur

îfTê/^ô») « ùno BAr* ttoXXÙ apa ti Îitto BAr fxii- BAr major est ipso BAr. Si igitur, etc. "C,uiv \<rri t»ç î/7io BAr. Eac apa, xa) rà. éifw?.

Prolongeons BA vers E.

Puisque deux côtés d'un triangle quelconque sont plus grands que le côté res- tant (20), les deux côtés ab, ae du triangle abe sont plus grands que le côté be; donc si nous ajoutons la droite commune Br , les droites ba , Ar seront plus grandes que be, Er. De plus, puisque les deux côtés te , ea du triangle tea sont plus grands que ta, si nous ajoutons la droite commune ab, les droites te, eb seront plus grandes que fa, ab; mais on a démontré que les droites ba , Ar sont plus grandes que be, Er; donc les droites ba, Ar sont beaucoup plus grandes que ba, Ar.

De plus , puisqu'un angle extérieur d'un triangle quelconque est plus grand qu'un des angles intérieurs et opposés (16), l'angle BAr, qui est un angle exté- rieur du triangle AEr, est plus grand que l'angle tea. Par la même raison l'angle teb, qui est un angle extérieur du triangle abe , est plus grand que l'angle BAr ; mais il a été démontré que l'angle BAr est plus grand que l'angle rEB; donc l'angle BAr est beaucoup plus grand que l'angle BAr. Donc , etc.

LE PREMIER LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE. 37

nPOTASIS xC. PROPOSITIO XXII.

E>c tùiuv tvQuw , ai ùtriv lirai rpitri Tctiç Sùùiliraiç iùQtlutç ' , Tflyuvov avirr«<ra<r6ai' Sit S» ràç Svc twî ^oittmç fitiÇovaç uvai, TracTit /jara- Xa^avc/Avaç , Sià ro xai navrcç rpvyûvou ,

Tstç SÛo TTtevpàç THÇ A0/7TM? //.îtÇovaç iivai ,

Triiiry fiiraXa/nCavc/ULivaç *.

Eoraxrav aï Sidutrai rpiîç ivôiîai ai A, B, I", uv ai Suo tHç Xoi7rîiç /auÇoviç leruitrav , ctcÉitw fjt,iTn}.!tfj.ÇavcfJt.ivai , ai /u.iv A, B tm ç T , aï Si A, T t«? B , xa) tTi aï B, V t»ç A* Su S» Ix rûv 'iiruy Ta7ç A, B, V Tfiytavov m)<TT»raa$xi.

A-

B-

r-

Ex tribus rectis , qiuc sunt œquales tribus datis rectis , triangulum constituera ; oportet autem duas reliquâ majores esse , omnifariam sumptas , quia et omnis trianguli duo latera reliquo majora sunt, omnifariam sumpta.

Sint data; très rectae A , B, r, quarum dua; reliquâ majores sint, omnifariam sumptae, ipsae quidem A , B ipsâ r , ipsae vero A , r ipsâ B , et denique ipsae B, r ipsâ A ; oportet igitur ex rectis sequalibus ipsis A, B, r triangulum constituere.

'Ey.Kiïsia riç tùùiîa » AE , 7wripxriJi.ivn fjàv Exponatur aliqua recta AE , terminata quidem

xara ro A , a.7riipeç Sï y.arà tû E' xa) xtiatito th ad A , infinila vero ad Ej et ponatur ipsi quidem fûv A ïn » AZ , r» SI B ïm » ZH , tm Si r ïan A aequalis AZ , ipsi vero B aequalis ZH , et ipsi r

PROPOSITION XXII.

Avec trois droites qui sont égales à trois droites données , construire un triangle : il faut que deux de ces trois droites , de quelque manière qu'elles soient prises , soient plus grande que la troisième ; parce que deux côtés d'un triangle, de quelque manière qu'ils soient pris , sont plus grands que le troisième.

Soient données les trois droites A, B, r, dont deux, de quelque manière qu'elles soient prises , soient plus grandes que la troisième ; les droites A , B plus grandes que r ; les droites A , r plus grandes que B , et enfin les droites B, r plus grandes que a ; il faut, avec trois droites égales aux droites A , B , r, construire un triangle.

Soit la droite AE , terminée en A , et indéfiuie en E ; faisons la droite az égale à la droite A (prop. 3), la droite ZH égale à la droite B, et la droite h© égale à

38 LE PREMIERLIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.

» H©' ko) KÎvrpa jAv râ> Z , Sia,<rT»/j.aTi Si t<2 acqualis H© ; et centre, quidem Z, inter-

ZA, KVxXot yiypatpfiui o AKA' no) 7raKiv , Kivrpco vallo vero ZA , circulus describatur AKA; et

fJLW Tffl H, f~ia.e-THjua.Ti Si 3 tu H©, kvkXcç rursus , centro quidem H , intervallo vero H0,

yiypâtpôu l KA@, i:ct) tTriÇid-^KS-av aï Kl, KH' circulus describatur KA0 , et jungantur KZ,

Xiyu oti m Tpiw ivôtiuy , tÎùv îruv Taîç A, B, KH ; dico ex tribus rectis , aequalibus ipsis A

T, Tfïywvov (rwisrartai 4 to KZH. B> r> triangulum constitutum esse KZH.

A- 6-

r-

EwÙ oZv ' TO Z mjMtîoC XSCTf Of !ot< TCU AKA kvkXcv , i«l êOTfe » ZA Til ZK* aXXa. « ZA T« A \s-tiv ?W xa) h KZ ap« t» A tmv irn, FIctA/c, eTre* to H rx/^eîbf vÂvTpov tort tou AK© x.vk\ou , JV» lirne « H© t!i HK* «tAXot « H© t» r Ist)v /V«' «cti M KH ap* TÎ) T êff-T/f î<rx. Eot< <fs *a/ « ZH tÎi B !'«)• ai Tftiîç cipet lùôilat eu KZ, ZH, HK, TfKrï to.7( A, B, r \<rai tl<riv.

E« tùiuv âca. tùSuay tùùv KZ, ZH, HK, ai e/V/c îVa/ Tp/« Taïç So&titraiç tùè-daiç Ta?? A, B , r, Tûiym'ov isvy i st a.T ai to KZH. Owep 8<Te/ Trotîirai.

Quoniam igitur Z punctum centrum est AKA circuli , acqualis est ZA ipsi ZK ; sed ZA ipsi A est acqualis; et KZ igitur ipsi A est acqualis. Rursus, quoniam H punctum centrum est AK0 circuli, acqualis est H© ipsi HK; sed H© ipsi r est acqualis; et KH igitur ipsi T est acqualis. Est autem et ZH ipsi B acqualis ; très igitur rectac KZ, ZH, H K tribus A, B, r acquales sunt.

Ex tribus igitur rectis KZ , ZH, HK, quae sunt aequales datis rectis A , B, r, triangulum cons- tituai est KZH. Quod oportebat facere.

la droite r; du centre z et de l'intervalle ZA décrivons le cercle aka (dem. 3); et de plus du centre H et de l'intervalle h® décrivons le cercle ak©, et joignons kz, kh; je dis que le triangle kzh est construit avec trois droites égales aux droites a, B, r.

Car puisque le point z est le centre du cercle aka , za est égal à zk (déf. i5); mais za est égal à a; donc kz égal à A. De plus, puisque le point H est le centre du cercle ak® , H© est égal à hk ; mais h® est égal à r ; donc kh est égal à r. Mais ZH est égal à B ; donc les trois droites kz, zh, hk sont égales aux trois droites A, B, r.

Donc le triangle kzh a été construit avec trois droites KZ, ZH, HK, qui sont égales aux trois droites données A , B , r. Ce qu'il fallait faire.

LE PREMIER LIVRE DES ELEMENTS D'EUCLIDE. 3q

IÏP0TA2I2 x?'. PROPOSITIO XXIII.

Xïpoç T« «ToSuVti tùôtlct, v.ai tS vpoç avT« e-n//.e»û>, tiÏ (Toâê/irii yuvlcf. tùùuypctfjifjiu Jtruc ^u- via.v tv6uypafj.fJt.ov oï/mirurBcLi.

E«T&> H fLtV (Toôê/ffa 8uAê?# » AB , TO Je ffflGÇ

aÙTtt o-it/xt7or to A, » Je (Toôe7ira ^-ûic/œ eùôu- ypa/jt/xoç » vtto ArE* Js? £~n tt^gj tm tmiitj tvbtla. t» AB, **/ tm Trpof avrn m/xtiui tu A, t» <fbôj/ir»i yavitt to6uypafji/uUf> t» t/çro ArE «V»y yawiav wbvy pttju.fjt.ov morno'a.o-d'a.i.

Ad datam rectam , et ad punctum in eâ , dato augulo rectilinco sequalcm angulum recti- lineum constituere.

Sit quîdem data recta AB , in eâ vero punctum A , et datas angulus rectilineus ArE; oportet igitur ad datam rectam AB, et ad punctum in eâ A , dato angulo rectilinco ArE œqualem angulum rectilineum constituere.

H B

E<A«(p6w \<p iKotTipotç w TA, TE TV%ôvTct Sumanturin utrâque ipsarum TA, TEquœlibet

(ryifjLîîtt Ta A, E, ko) iTri^tv^ùa » AE* net.) \k puncta A,E, et jungatur AE; et ex tribus redis,

tpmv tùôtiuv , eu i'io-iv t?at rpitr) retiç TA, AE, quœ sunt aequales tribus TA, AE, TE , triangulum

TE, rpiyuvov (runaraTw td AZH, axrrt ïtmv thaï constituatur AZH , ita ut aequalis sit TA quidem

r»v fAv TA T» AZ, tm Si TE t? AH, ko.) tri ipsi AZ , ipsa vero TE ipsi AH, et denique AE

thc AE th ZH. ipsi ZH.

PROPOSITION XXIII.

A une droite donnée, et à un point de cette droite, construire un angle recti- ligne égal à un angle rectiligne donné.

Soient donnés la droite ab, et un point A dans cette droite ; que ArE soit l'angle rectiligne donné; il faut à la droite donnée ab et au point A de cette droite , construire un angle rectiligne égal à l'angle rectiligne donné ArE.

Soient pris , dans l'une et l'autre des droites TA, te, deux points quelconques a, E, joignons ae, et avec trois droites égales aux droites TA , AE , te, construisons le triangle azh ( 22), de manière que ta soit égal à AZ, te égal à ah, et ae égal

à ZH.

4o LE PREMIER LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.

Ewt) cvv ' iTu'o a.ï Ar , TE <JW» ra.7ç ZA , AH 'i'ira.1 ile-iv, iKUTtoa. izctTiftf., koh ficuriç « AE Ctx.au t» ZH «Vu* yw'ta. è.pa. » v-rro ArE yuvia.

t!) v7tû ZAH \<rrh JV».

rip&ç àpa th Soûinry ivùtia. t« AB, «ai ta çrpèç carii (nf/utia ra A, tm <fbôê/<rif ^wi'/a êi/âo- ypâju.uu> T« (;7ro ArE J9Tf ywict wftvypa.[A/AOç ruviaTO.TO.1 ti v7ro ZAH. Oïrep 6<Jêi voiwau.

nPOTASIS *<T'.

Eet? <fiîo Tp;^wca t*ç «fuo 7rXtupaç raj'ç Sixr) ntevpcuç ïrctç tX* ■> iK*Tif,etv szaTi'pçt, rtiv St yavictv tm? T-ftina? [Â.iiÇova ïyy rtiv v7to tw itrav tùôiiùiv 7nfiîyj>y.nttv' na.t thc Cuny rnç fiûinaç

/XU^QVct fçîi.

EflTû) <Tt/'o Tùlyoùvet Ta. ABr , AEZ , ra.ç fbo rrtevpàç tolç AB , Ar t*7ç JW» -Trteupa.Tç Ta/ç AE , AZ ïa-etç %x0VT<t-> sKarépac fHaTtpa., Ttiv [Àv AB tÎ) AE, t«c <Tè Ar t» AZ, ymvitt Si « uttû BAr yievlaç tjk t>7ro EAZ ' /uiÇuv îirru' \'tya> ot/ xa» /iais-iç » Br fiioïux; t«ç EZ fitlÇuv trrir.

Quoniam igitur dua: Ar , TE duabus ZA , AH oequales sunt , utraque utriquc , et basi.: AE basi ZH sequalis , angulus utique ArE angulo ZAH est sequalis.

Ad datam igitur rectam AB , et ad punctum in eà A , dato angulo rectilineo ArE , sequalis angulus rectilineus constitutus est ZAH. Quod oportebat facere.

PROPOSITIO XXIV.

Si duo triangula duo latera chiobus latei-ibirs aequalia babeant , utrumque utriquc , angulum autem angulo majorem babeant , qui ab sequa- libus latcribus continetur; etbasinibasi majorem habebunt.

Sint duo triangula ABr, AEZ, duo latera AB , Ar duobus latcribus AE , AZ aequalia ba- bentia , utrumque utriquc, AB quidem ipsi AE, AT vero ipsi AZ , et angulus BAT angulo EAZ major sit; dico et basim Br basi EZ majorem

Puisque les deux droites Ar, te sont égales aux deux droites za, ah, chacune à chacune, et que la base ae est égale à la base ZH, l'angle ArE sera égal à l'angle ZAH (8).

Donc à la droite AB, et au point A de cette droite, on a construit l'angle rec-« tiligne ZAH égal à l'angle rectiligne ArE. Ce qu'il fallait faire.

PROPOSITION XXIV.

Si deux triangles ont deux côtés égaux , chacun à chacun , et la base de l'un plus grande que la base de l'autre, ils auront les angles compris entre les côtés égaux plus grands l'un que l'autre.

Soient les deux triangles ABr, AEZ, ayant les deux côtés AB , Ar égaux aux deux côtés ae , AZ , chacun à chacun , le côté ab égal au côté AE, et le côté Ar égal au côté az; que l'angle BAr soit plus grand que TaDgle EAZ; je dis que la base Br est plus grande que la base EZ.

LE PREMIER LIVRE DES ELEMENTS D'EUCLIDE. 4i

E7Têî yàf [MtlÇuv \<f\)v * h vtto BAT ymia. tw? Quoniam enim major est BAr angulus EAZ

vtto EAZ ywvietç, 9vrttrrâ.TU çrpoç t» AE tv&iitt, angulo,consùtuatur ad AErectam,etadpunctum

Xtt) to 77-poç àuTJP (nfJLiia r$ A, t« û^ro BAr in eâ A,ipsi BArangulo aequalis EAH; et ponatur

yuvittln « û^oEAH* m«*e/a&t>o:roTépçtTûH< AI", alterutri ipsarum AI*, AZ aequalis AH, et jun-

AZ «Vît » AH, K*i ê5re^w'%âû"r*'' «' EH, ZH. gautur EH, ZH.

Ettsi ouv îV» 6«TJf » /^sk AB t» AE, » £t Ar tÎi AH , <foo <Th «U BA , Ar S'va) touç EA , AH i<ra.i ti<r)v, Ixctripac. ixa.Tiptt , xa.i yuvtct » V7J-0 BAr ymïa. rn v7ro EAH ÎVji Im-/*' #cts7f etpa » Br Ç.Ô.7U t« EH Istic M*. ElttAiv, 19*1 <<") «<""'>' » AZ t? AH, îVn \<rv\ y.a) 5 » Û7ro AZH yuvîu. t» 0770 AHZ* fXï'îCfùV âp*. « (jsto AZH, t«î i)îtj J^HZ , woAA&> «pa fLiiÇwv Irrh » t/7ro EZH tjk im» EHZ* Kaî 'fTrùrp'iyavâv itrri ro EZH ,/AiiÇova,iXcl' r,,v lui EZH yw'mv th? yrf EHZ- Û7ro <fi thc /uuiÇcvct yuviav tl[j.ilÇav "nXvjpk înrsnivti' (XilCfav apa xai irMvpèt » EH rnç EZ. I<nt Js » EH t» Br- {AiiCpiv aca xa« » Br thç EZ. E&f apa ovo, xat tx tqnç.

Quoniam Jgitur œrjualis est AB quidem ipsi AE, Ar ipsa vero ipsi AH, duae utique BA, AT duabus EA , AH oequales sunt, utraque utrique, et angulus BAr angulo EAH aequalis est; basis jgitur Br basi EH esta?qualis. Rursus , quoniam aequalis est AZ ipsi AH, aequalis est et AZH angulus ipsi AHZ ; major igitur AZH ipso EHZ; multo igitur major est^EZH ipso EHZ. Et quoniam trian» gulum est EZH , majorem habens EZH angulum ipso EHZ ; majorem autem angulum majus latus subtendit ; majus igitur et latus EH ipso EZ. jEquale autem EH ipsi Br ; majus igitur et Br ipso EZ. Si igitur duo , etc.

Car puisque l'angle BAr est plus grand que l'angle EAZ , construisons sur la droite ae , et au point A de cette droite, un angle eah égal à l'angle BAr (23) ; faisons la droite ah égale à l'une ou à l'autre des droites Al, AZ (5), et joignons EH , ZH.

Puisque ab est égal à ae , et Ar à ah , les deux droites ba, at sont égales aux deux droites EA, AH, chacune à chacune ; mais l'angle BAr est égal à l'angle EAH; donc la base Br est égale à la base EH (4). De plus, puisque az est égal à ah, l'angle azh est égal à l'angle ahz (5); donc l'angle azh est plus grand que l'angle EHZ; donc l'angle ezh est beaucoup plus grand que l'angle EHZ; et puisque EZH est un triangle , ayant l'angle EZH plus grand que l'angle EHZ , et qu'un plus grand côté soutend un plus grand angle (19), le côté EH est plus grand que le côté EZ; mais EH est égal à Br; donc le côté Br est plus grand que Je côté EZ. Donc, etc.

6

4a LE PREMIER LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.

riP0TA2I2 xe'. *

Eav iïio tp iyurtt ràç S~vo irtevpàç rctîç ' efWi 7rXivpa.7i lla-etç txy ■> uueiiptu tKontpa., tm Sï * Courir Tiff $oi<na>ç /ui'iÇovct iiyn 3* y.a) tmv ya>ria.r TÎf ytoriuç fxt'iCfira. 't%u , r»v Itt\ im ïtrcor tùStiur "!ttpityj>iÂrm.

~E<rru> S)jo rplymva. rà ABr, AEZ, ràç $~vo rrMvpaç raç AB , Ar rcttç Sufi TrMvpoiïç Taiïç AE, AZ ttrctç t^OfTct, 'tKXTÎpav iKcnîpa., tm fxtv AB t!) AE, t«c J* Ar t» AZ# Qitriç Si » Br Câ.<ricoç tÎ\ç EZ fXiiCfjDV to~ra>' Xtyu on Kaà yarict * ûfl-o BAr ywlttç t«î 077-0 EAZ fAiiÇur l<rr/c.

PROPOSITIO XXV.

Si duo triangula duo latera duobus lateribus œqualia habeant , utrumque utrique , basim autem basi majorem babeant; et angulum angulo- majorent liabebunt , qui ab aequalibus rectis continetur.

Sint duo triangula ABr, AEZ, duo latera AB , Ar duobus lateribus AE , AZ acqualia babentia , utrumque utrique , AB quidem ipsi AE , Ar vero ipsi AZ, basis autem BT basi EZ major sit; dico et angulum BAr angulo EAZ majorem esse.

Eî yap fi», htoi t<n trriy àvrn , » Ixâo-irur' Si enim non, vel œqualis est ei, vel ruinor;

ll<rn fx.tr oiïv cvkÏotiv » vto BAI' * t» \jtt6 EAZ", aequalis autem non est BAr ipsi EAZ , xqualis

io-» yâp ar tir ' ko) h 0â<nç « Br fiâtru t» EZ* enim esset et basis Br basi EZ • non est autem ;

eux ter* S\' du ip*. JVh teri ymia. 4 « vvrl non îgitur aequalis est angulus BAr ipsi EAZ.

PROPOSITION XXV.

Si deux triangles ont deux côtés égaux , chacun à chacun, et la base de l'un plus grande que la base de l'autre , ils auront les angles compris entre les côtés égaux plus grands l'un que l'autre.

Soient deux triangles ABr, aez , ayant les deux côtés AB, Ar égaux aux deux côtés AE, AZ, chacun à chacun, le côté AB égal au côté AE, et le côté Ar égal au côté AZ ; que la base Br soit plus grande que la base EZ ; je dis que l'angle BAr est plus grand que l'angle EAZ.

Car si cela n'est point , il lui est égal , ou il est plus petit ; mais l'angle BAr n'est pas égal à l'angle eaz, car alors la base Br seroit égale à la base ez (4) ; mais elle ne l'est point; donc l'angle BAr n'est pas égal à l'angle eaz. Mais l'angle BAr

LE PREMIER LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE. 43

BAr tÎ? Î/7to EAZ. OÙJ1 yu«f \xâ.<r<ro)v \rriv ti vtto Neque tamen minor est BAr ipso EAZ , minor

BAr t»ç v7to EAZ 7 , ixâtvuv yttp ttv nv 8 xa) enim essetetbasisBrbasi EZ ;nonest autem;non

CÔltiç n Br Câtnaç rîiç EZ* ovk irri Si' ovk apa. igitur minor est BAT angulusipso EAZ. Ostensum

i\a.ovw ttrriv » vtto BAT ytav'nt rîiç vtto EAZ. est autem neque œqualem esse; major igitur est

EJs/%0» Si ort ovS' ïw /m'iÇuv ipa. iirnv » vtto BAr ipso EAZ. Si igitur duo, etc. BAr 9 rîi( V7T0 EAZ. Eac apa. Suo , ust) tx t^Sç,

nPOTASIS xç-.

Eac Sï/o tpï'yma. rttç Svo yuvînç retîç ' Sïxri •ywieuç t<rctçtxy , ina,Tipa.v Ixenifa., ko.) jxlav Trtevçav fMa. TrMvpa. Jane, »T0t * rnv irpoç rajç itrwç ytdïieuf t m tjic vTroTtivovntv ûiro yua-v tuv i<ra>)r yanZv xa.i raç Xonrctç tsrMvpttç r»7{ XoittolTç ttXivpiuç Waç tÇti , tKa.Ttp<tr tK<tr'tpcf,y xeu tw Xoittm yuvittr th Ae/wî yuvitfi.

Eut» 3 S\io rpiytava. rà. ABT , AEZ , tclç Sbo yuyletç Ta; V7T0 ABT, BTA Siin ra?ç vtro AEZ, EZA 'itretç lyovTtt, ixurépecv iKctripct, riv lÀv vto ABT tm ùvo AEZ , rnv Si u%o BTA th vito EZA* î^tTN Si ko.) file» •nXivpà.v fjuài irteopêi \crm* irpOTipay , im wpèf r*7; 'Uouç

PROPOSITIO XXVI.

Si duo triangula duos angulos duobus angulis œquales habeant, utrumque utrique, et unum latus uni lateri aequale , vel quod est ad a?quales angulos , vel quod subtendit unum aequalium angulorum; et reliqua latera reliquis Iateribus aequalia habebunt , utrumque utrique , et reli- quum angulum reliquo angulo.

Sint duo triangula ABT , AEZ , duos angulos ABr , BrA duobus AEZ , EZA aequales habentia , utrumque utrique, ABr quidem ipsi AEZ, BrA vero ipsi EZA, habeant autem et unum latus uni lateri aequale ; primum , quod est ad œquales angulos, ipsum Br ipsi EZ; dico et reliqua latera.

n'est pas plus petit que l'angle EAZ , car alors la base Br serait plus petite que la base EZ (24); mais elle ne l'est point; donc l'angle BAr n'est pas plus petit que l'angle eaz. Mais on a démontré qu'il ne lui est pas égal ; donc l'angle BAr est plus grand que l'angle eaz. Donc , etc.

PROPOSITION XXVI.

Si deux triangles ont deux angles égaux , chacun à chacun , et un côté égal à un côté, ou celui qui est adjacent aux angles égaux , ou celui qui est opposé à un des angles égaux , ils auront les autres côtés égaux, chacun à chacun, et l'angle restant égal à l'angle restant.

Soient les deux triangles ABr, aez, ayant les deux angles ABr, BrA égaux aux deux angles aez, eza, chacun à chacun, l'angle ABr égal à l'angle aez, et l'angle BrA égal à l'angle eza ; que ces deux triangles aient aussi un côté égal à un côté, et d'abord celui qui est adjacent aux angles égaux, le côté Br égal au

44 LE PREMIER LIVRE DES

ywlcti; rtiv Br tî» EZ' \îym otj ko.) raç Xot7raç çrXtvpàç tcc/? Xoirraiïç 7r\i\jpa.7ç tiraç tifs; , Iko.- •rîpttv iiutripç , rtiv fx%y AB ti7 AE , rtiv Si Ar tw AZ, xeù r»v XoiTrtiv yuvia.v tm Aonrîj ymuf., TJfc vrro BAr tw V7ro EAZ.

El yap etviToç Iotiv » AB t« AE , /*.'<* ttÙTuy [uiÇav \o~riv 4. Est» fJniZav » AB , za< x'cio-èw th AE <V» « BH , ko) %Ti\C!iùybu » HI".

ELEMENTS D'EUCLIDE.

reliqtiis latcribus aequalia liabitura esse, utrumqwe utrique , AB quidem ipsi AE , AT vero ipsi AZ , et reliquum angulum reliquo angulo, BAr ipsi EAZ.

Si enim inaequalis est AB ipsi AE , una eanim major est. Sit major AB, et ponatur ipsi AE aequalis -BH , et jungatur Hr.

Evù ouv ïn Wr\v â (Àv BH t? AE , » Si Br T« EZ , Svo S» a.1 BH, Br Sur) Taûç AE , EZ /Va/ %ltriv , ixa.Ttpct ixompif., y.a.1 yuvia. » U7ro HBr 7&)i/çt tw ÛttÔ AEZ iV» t»*™'* (Zâiriç â.pa. h Hr #airc< tw AZ »'mi ê«Ti , xa.i to HBr Tplywov ru AEZ Tp/^fticù) iroc è-rr/^, xal a/ XotTicà yuviat Taîç Ac/7ra7f ymlaiç ï<ra.t "urcvrcti 6, ûp âç *j iVa< ■srAtupa* wcTtlttunv 'm apa, » inrtt HrB yuvla. tw t/7ro AZE. AXAa « vtto AZE tw t/7ro BrA V7rÔKUTHi 'in' y.a.i » vno BI"H à'ç* th £iro BrA

Qnoniam igitur aequalis est BH quidem ipsi AE , Br vero ipsi EZ , dua? ulique BH , Br duabus AE , EZ aequales sunt , ulraque utri- que , et angulus HBr angulo AEZ sequalis est; basis igitur Hr basi AZ aequalis est , et HBr triangulum AEZ triangulo aequale est, et rcliqui anguli reliquis angulis aequales erunt , quos aequalia latera subtendunt; aequalis igitur HTB angulus ipsi <ÛZE. Scd AZE ipsi BTA po- nilur aequalis; igitur cl BrH ipsi BrA aequalis est,

*côté EZ; je dis qu'ils auront les autres côtés égaux aux autres côtés, chacun à chacun, le côté ab égal au côté ae, lecôté Ar ég.il au côté az , et l'angle restant égal à l'angle restant, l'angle BAr égal à l'angle eaz.

Car si le côté ab n'est pas égal au côté AE , l'un d'eux est plus grand que l'autre. Soit ab le plus grand; faisons bh égal à AE (5), et joignons Hr.

Puisque bh est égal à ae , et BTegal a ez, les deux côtés bh, Br sont égnux aux deux côtés AE, EZ , chacun à chacun; mais l'angle HBr est égal à l'angle AEZ; donc la base Hr est égale à la base az (4); le triangle HBr est égal au triangle AEZ, etles angles restants , soutendus parles côtés égaux, seront égaux aux angles restants ; donc l'angle HrB est égal à l'angle aze; mais l'angle AZE est supposé

LE PREMIER LIVRE DES ELEMENTS D'EUCLIDE. 45

minor niajori , quod iinpossibilc. Non igilur iuae-

îflTt ItTIV, il iXltaVOlV TH /XtlÇoVI, OTTip àMiaTCV.

Oui apa avta-oç itrriv H AB tii AE' t<rn apa. Ejt/ Si xa) » Br t« EZ »V» , <ft!o <J« «î AB, Br Sue) talc AE , EZ î'«t/ e<Vîv, ixanpa tKarîpa, xal

yUVttt.il UVO ABrj/Bf/çtTM t/ÎTO AEZéOTJI' J(T>!*£ct!!7f

cpa h Ar iSairê/ t» £Z <V» ss-ri , y.et) Ao/rrii yocvla.

h V7T0 BAI"TÎ)7 A0//T» 2"&>I'/«.T» UTTOEAZ <fl"J) l(TT<V.

AAAa <Tm 7râXtv, trrcarav eu v7ro tciç ïettç •)uuaç 7rMvpat u7roTtîvovtrai tirai , «5ç « AB t« AE* Afjû) TaA/i', ot/ xa/ eu Xoittsli TrMvpu) ra?ç XoittoÎç Trteupaîf urati arot rai , » yusi' Ar TÎ AZ , » Js Br th EZ, xa/ tri » \c<V7r*i ymia » înro

BAF T? >î/^» J-Uf/st * TH t/TS EAZ ÏV« îSTtV.

E/ >*p ai/3-cç s9T/i' » * Br t» EZ , yu/a aùrMC fÂtiÇasy trrlf. Be-rco [Ai iùav , «/ Suta-roy, » Br T«f EZ'°, xa) xiieQu t» EZ «V» à B0, x«« l-re- Çiûyjoo si A©.

Ka< s~u i#n ts-riv n fj\v B© tw EZ , â <Tt AB t? AE, Sûo <fà a/ AB, B9 <JW/ Tct?ç AE, EZ *<ra/ tt9tr3 "ixanpa iKartpa., xa) ywiaç srctç Ttpltxootf fiâe-iç apa. ti A© Câmi t» AZ ïm

qualis est AB ipsi AE ; aequalis igiturest. Eslautem etBr ipsi EZ aequalis, duae utique AB, Br duabus AE , EZ aequales sunt , utraque utrique , et an- gulus ABr angulo AEZ est aequalis; basis igilur AT basi AZ aequalis est, et reliquus angulus BAT reliquo angulo EAZ aequalis est.

Sed et rursus , sint ipsa aequales angulos latera subtendcntia aequalia , ut AB ipsi AE j dico rursu&et rcliqua latera reliquis laferibus aequalia futura esse , AT quidem ipsi AZ , Br vero ipsi EZ, et adhuc rcliquum auguluru BAT reliquo angulo EAZ aequalcm esse.

Si euim inaequalis est Br ipsi EZ, una carum major est. Sit inajor, si possibile est, Br ipsâ EZ , et ponatur ipsi EZ aequalis B© , et jun- gatur A©.

Et quouiam aequalis est B© quidem ipsi EZ , AB vero ipsi AE, dua; utique AS, B0 duabus AE, EZ aequalcs sunt, utraque utrique, et an- gulos aequales continent ; basis igitur A© basi AZ

égal à l'angle BrA ; donc l'angle BrH est égal à l'angle BrA , le plus petit au plus grand, ce qui est impossible ; donc les côtés ab, ae ne sont pas inégaux; donc ils sont égaux. Mais Br est égal à EZ ; donc les deux côtés ab , Br sont égaux aux deux côtés ae , ez , chacun à chacun ; mais l'angle ABr est égal à l'angle aez ; donc la base Ar est égale à la base az (4), et l'angle restant BAr est égal à l'angle restant eaz.

Mais déplus, que les côtés opposés aux angles égaux soient égaux , le côté ab égal au côté AE ; je dis que les côtés restants seront égaux aux côtés restants , le côté Ar égal au côté az, et le côté Br égal au côté EZ , et que l'angle restant BAr est égal à l'angle restant eaz.

Car si le côté Br n'est pas égal au côté EZ, l'un d'eux est plus grand que l'autre; que Br soit plus grand que EZ, s'il est possible; faisons B© égal à EZ (5), et joi- gnons A©.

Puisque B© est égal à EZ, et ab égal à ae, les deux côtés ab, b© sont égaux aux deux côtés ae, ez, chacun à chacun; mais ces côtés comprennent des angles égaux ; donc la base A© est égale à la base AZ (4) ; le triangle AB© est égal au

46 LE PREMIER LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.

irri , x.a.1 to AB© rpiyuvov ru AEZ rptyûvu iVov tsv/, x.otf ai \oi7ra.i yuvuti retîç Xo$ttcuç yuftxiç irai io-ovrai ",uip kç xl nrcti irMvpa.1 inroriivovrtv'

I5-» apX iTTIV H V7TO B©A yUVIX T? V7TO EZA. AAX* îi V7T0 EZA t« V7TQ BrA " tOTIC ISTP KXI H U7TO B©A ctfot T» O1B-0 BrA tOT/f '*«•») ,J* Tf/^fflPOU

Jm tou A©r » ffcToç ywvix » v7ro B@A ÎVm èflT« t!Ï «cTOf kxï XTnvxvriov rîf ùvo BTA , OTrep

aequalis est, et triangulum AB9 triangulo AEZ aequale est , et reliqui anguli reliquii angulis aequales erunt , quos aequalia latera subtendunt ; aequalis igitur est B0A angulus ipsi EZA. Sed EZA ipsi BrA est aequalis; et B0A igitur ipsi BrA est aequalis j trianguli igitur A©r exterior an- gulus B0A aequalis estinteriori et opposite- BrA , quod est impossibile. Non igitur inaequalis est

xS'ùvxrov. oCk xpx uvitro! itrrtv « Br t» EZ , ï<r» xpx. Eirri <Ti kxi « AB t« AE Hfuc <ft/o Jn xi AB, Br <JW» rxîç AE, EZ l'trxi i/V/c , tKxripx ty.xrtptt., xxt ytùvutç irxç •ntpityovin' fixnç xpx » Ar Cxru t» AZ «a-» IfTi , «ai to ABr rpiywrov ru AEZ to/^ùii'û) jfl-oc, xai Xc/th '4 ^wwa » uto BAr t» *e<5r» yuvitt riï v7ro EAZ ÎVh m. E«k ap<* efu'o, )£*< rx «f»?.

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Br ipsi EZ ; aequalis igitur. Est autem et AB ipsi AE aequalis ; duae igitur AB , Br duabus AE EZ aequales sunt, utraque ulrique, et angulos aequales continent ; basis igitur AT basi AZ aequalis est, et triangulum ABr triangulo AEZ aequale , et reliquus angulus BAT reliquo angulo EAZ aequalis. Si igitur duo , etc.

triangle AEZ, et les angles restants, opposés aux côtés égaux, seront égaux aux augles restants , chacun à chacun ; donc l'angle b©a est égal à l'angle EZA ; mais l'angle eza est égal àl'angle BrA; donc l'angle B0A est égal à l'angle BrA ; donc l'angle extérieur b©a du triangle A©r est égal à l'angle intérieur et opposé BrA; ce qui est impossible (16); donc les côtés Br, EZ ne sont pas inégaux ; donc ils sont égaux. Mais le côté ab est égal au côté AE ; donc les deux côtés AB , Br sont égaux aux deux côtés ae, ez , chacun à chacun ; mais ces côtés comprennent des angles égaux; donc la base 'Ar est égale à la base az (4); le triangle ABr est égal au triangle aez , et l'angle restant BAr égal à l'angle restant eaz. Donc , etc.

LE PREMIER LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE. 47

riPOTASIS xÇ\ PROPOSITIO XXVII.

Eàv tlç $vo ivÈilaç tùOiîct \[M7r'tTrravTtx. t*ç iv&X\àç ymia.ç 'traç àXA»iXa/f votn 3 7rnùâ.X- XtiXoi ta-ovrett a.XXn\a.iç ttï tùdiîtti.

Elç yàp Svo tùôtlaç Ta? AB , TA tùùtïtt t/A- viirrovnt » EZ, rciç ivoLKhoLÇ ywictç rè.( ûno AEZ , EZA iWç àfà»Xcttç irotÛTm' Xiyu ot/ 7r«f ctMdAe'f trnv » AB t>7 TA '.

Si in duas rectas recta incidens alternos an- gulos œquales inter se faciat, parallelse erunt inter se rectae.

In duas enim rectas AB , TA recta inci dens EZ, alteraos angulos AEZ, EZA œquales inter se faciat; dico parallelam esse AB ipsi TA.

El yap pn , t>t€ct\Xc/j.ivtti eu AB , TA avfx- vrttrovvTcii , nrot ivri t« BA /ut.îp» , a In) rà AT. EKÇtfiXti<r6a>Fav , kx) av//.7rt7rriruva,y itti ra BA /*«/>» KttTa. ro H.

Tpiywou <ft» rou EHZ » txro; ymU » û« AEZ un tari t» tvTCç x.a.1 À7riva.yriov th vtto EZH , OTrep 60-r/c a.S'vva.rov oùx. ctp* ni AB } TA iH.?uX/.cfXîvai n/JLTrts-Bvvroci Itt) t* B A

Si enim non, productœ AB, TA, convenicnt vel ad BA partes, vcl ad AT; producantur, et conveniant ad BA partes in H.

Trianguli igitur EHZ exterior angulus AEZ aequalis est interiori et .opposite- EZH , quod est impossibile; non igitur AB , TA produclae con- venient ad BA partes. Simililcr autcm ostcn-

PROPOSITION XXVII.

Si une droite tombant sur deux droites fait les angles alternes égaux entr'eux, ces deux droites seront parallèles.

Que la droite ez tombant sur les deux droites AB, ta fasse les angles alternes AEZ , eza égaux entr'eux ; je dis que la droite AB est parallèle à la droite ta.

Car si elle ne lui est pas parallèle , les droites AB , ta étant prolongées se rencontreront, ou du côté ba, ou du côté Ar. Qu'elles soient prolongées, et qu'elles se rencontrent du côté ba , au point h.

L'angle extérieur aez du triangle ehz est égal à l'angle intérieur et opposé ezh, ce qui est impossible (16); donc les droites ab, ta prolongées du côté ba ne se rencontreront point. On démontrera de la même manière qu'elles ne se ren-

48 LE PREMIER LIVRE DES ELEMENTS D'EUCLIDE.

ft.lt». Opo iuç Sti Suy^WiTtu , ot; oùSÎ t7r) rà. detur neque ad Ar ; quac autem in neutras

AT* ai Si 67r» /j.nSirtpa ra /j.îp» <rufj,7r'f7JTCu<rai , partes conveniunt , parallèle sunt j parallela

crapâxXn^oi tîrr TrapâbiûiXoç apa. t<rr)v » AB igitur est AB ipsi TA. Si igitur in duas, etc. t» TA. Est? apoc, ùç Svo , xeil tu. t%îi;.

nPOTASIS M.

Eae l«; Suo tù&iiaç tùùtîa IfiTrivTovra t«c t>noç yuviav tm Ivtoj u«j mrtrafTter xcà W) Ta aura fjiip» \nt 7roi» , » raç \vtcç xai Itt) ra aura fJ-ip» tJWif ôpfla/ç ira? 770/» '• irapâ\-

E#V >«p Juo tiiètiaç Taç AB, TA tù&tîa t/x- vriTTTûvtra « EZ THy «to? ^«y/ac thi> uîto EHB th î^TCf fccti à7Tiva.vTÏov * yuvia. TH t/wo H@A

PROPOSITIO XXVIII.

Si in duas rcctas recta incidcns exteriorcm an- giilum interiori et opposito et ad casdem parles xqualcm faciat, vel interiorcs et ad easdem partes duobus rcctis œqualcs faciat ; parallelae crunt inlcr se rectœ.

In duas enim rectas AB , TA recta incidcns EZ exteriorcm angulum EHB interiori et oppo- sito, angulo H0A œqualcm faciat, vel inte-

S

t<r»v <aro;t<TW , 5 ràç t^TOf tca ) îwi rà aura riores et ad easdem partes ipsos BH© , H0A fxipti Taç ôsrà BH©, H©A Sutriv Ipèaîç ï<ra:' duobus rectis œqualcs; dico parallclain esse AB AÎjù) oti TrapàXhnXÔç IfTiy a AB t»» TA. ipsi TA.

contreront pas non plus du côté Ai"; mais les droites qui ne se rencontrent d'aucun côté sont parallèles ( déf. 35 ) ; donc la droite AB est parallèle à la droite ta. Donc , etc.

PROPOSITION XXVIII.

Si une droite "tombant sur deux droites fait l'angle extérieur égal à Pangle intérieur, opposé, et placé du même côté, ou bien si elle fait les angles intérieurs et placés du même côté égaux à deux droits, ces deux droites seront parallèles.

Que la droite EZ tombant sur les droites ab, ta fasse l'angle extérieur ehb égal à l'angle intérieur h©a, opposé, et placé du même côté, ou bien les angles BH©, h©a intérieurs , et placés du même côté, égaux à deux droits; je dis que la droite ab est parallèle à la droite ta.

LE PREMIER LIVRE DES

Eïtu ya.D ttn\ ttrnv » utto EHB tm vtto H0A , àxxà, ti v-jo EHB th Ôtto AH© tirrir JVji , z«i m ûîrè AH© âpa. tÎÏ Û77-0 H0A t<nr)v ïw xa.i ùeiv iva.X'hi^ TrapâXï.nXoç ipa. irrh « AB tw TA.

TIulXiv , s^i« <tl oto BH© , H®A JWjs' ocBuîç urai ii<r)r , ù<rï S% Ml eu utto AH© , BH0 JWîv optittiç nrctl' ai apa. VTTQ AH© , BH© Tett; wrro BH0 , H0A 'l'trtti ùiri. Koivti àtpypâstloù » Ùtto BH@, Xoiir» ctpa, n vira AH© Ao/ib-m th ûsro H©A i<rriv Ion' xai tînv tvttXXaç' crapaAAîtAoç apa. tarif h AB tm TA. E*c <xp* s;'? «Tiio, x«i t« *£»{■,

IIP0TA2I2 xô'.

H 6/ç Tœf wapaAAiiXoi/ç tuâe/a; sùSêï* \[X7ri- •mouira. riç té «VecAXctif ya>vi<tç i<ra.ç aXAx'Aa/ç

WS/W, *«< TJ!f SKTOf TH ÉVTflf «SU à.TTiVttVrioi' ,

kxi IttÏ Ta aÎT* /"ip» J'uhk ' , xai Totç èi'TOç xa« t7rt Ta ai/Ta jw«pw dur/c opfla/ç /iraj.

E/V >«p TrctpittâriXovç luètlctç Tstç AB , TA tùflf/a s/^OTTTTêT» A EZ* Xe'jw or; t«ç té*

ELEMENTS D'EUCLIDE. 49

Quoniam enim œqualis est EHB ipsî H0A , sed EHB ipsi AH© est œqualis , et AH0 igitur ipsi H0A est œqualis ; et suut alterni ; parallela igitur est AB ipsi TA.

Rursus , quoniam auguli BH© , H©A duobus rectis œquales sunt, sunt auteru anguliAH©, BH© duobus rectis œquales; ergo AH0, BH© ipsis BH©, H0A œquales sunt. Communis auferatur BH© ; rcliquus igitur AH© reliquo H©A est œqualis ; et sunt alterni ; parallela igitur est AB ipsi TA. Si igitur in duas , etc.

PROPOSITIO XXIX.

In parallelas rectas recta incidens , et alternos angulos œquales inter se facit, et exteriorcm inte- riori et opposito et ad easdem partes œqualem , et interiores et ad easdem partes duobus rectis œquales.

In parallelas enim rectas AB, TA recta iucidat £Z; dico eam alternos angulos AH©, H©A œquales

Car puisque l'angle EHB est égal à l'angle H0A, et que l'angle EHB est égal à l'angle ah© (i"5) , l'angle ah© est égal à l'angle H0A ; mais ces angles sont alternes ; donc la droite ab est parallèle à la droite ta (27).

De plus, puisque les angles bh© , h©a sont égaux à deux droits, et que les angles ah©, BHQ^Sont aussi égaux à deux droits (i3), les angles AH©, BH© seront égaux aux angles b@h, h©a. Retranchons l'angle commun BH©; l'angle restant AH© sera égal à l'angle restant h@a ; mais ces deux angles sont alternes ; donc la droite AB est parallèle à la droite ta. (27). Donc, etc.

PROPOSITION XXIX.

Une droite qui tombe sur deux droites parallèles, fait les angles alternes égaux entr'eux, l'angle extérieur, égal à l'angle intérieur opposé et placé du même côté, et les angles intérieurs placés du même côté, égaux à deux droits.

Que la droite ez tombe sur les droites parallèles ab, ta; je dis que cette droite fait les angles alternes AH©, h©a égaux entr'eux , l'angle extérieur ehb, égal à

7

5o LE PREMIER LIVRE DES ELEMENTS D'EUCLIDE.

tpa>À«| yavietç ri? uni AH© , H©A ïtrttç facere , et exteriorem angulum EHB interiori et

voiî7, ntù TJic titToç ywiav vtw îtvl EHB tiJ opposito et ad easdem partes H0A acqualem ,

Xvtoç toà à.TTiva.vTtov xa) in) t* etoTet fxipr\l et interiores ad easdem partes BH©, H©A duobus

rn v7ro H0A ï<r»v , ko) txç hroç net) tv) rài rectis acqualcs. , àuTxjjLîpv rÀç înro BH03H@A <IWii> opSccîç îVct?.

El yàp aviroç ttrriv » utto AH© tÏ vttq H©A, fjt,'tct uùruv /AtiÇcôv *trlf, E<rrta pilÇav » vtto

AH© T«f V7Ï0 H0A*. KOIVX VpOTXilffôu H V7T0

BH0* et/ etpet ÛttÔ AH© , BH© tm? Ûîto BH0, H©A lAtiÇoviç t'tiriv. AXAet5 et/ Î/7T0 AH®, BH© Siitriv ÔflâetîV «Vet/ ê(V/V* et/s etpet t/TTO BH© , H©A S'ûo lùèôiv iXâtriroviç j;V/p. A/ <Tê etw tXa.e<rôvav » S'vo loùav tx.Sa.XXcjuw'eLt tlç a7rtipov e-u/UL7ri7rT0U<riv' et/ etpet AB , TA inÇa.Xhofj.tva.1 lîç cLyraùûv aufjL7rt(rovvTa.i' où <n/J.,7ri7rT0v<ri cfe, <f>ei to TrctpctXXiiXovç etuT«ç v7roKi77&a.r cvk apet ivirôç lo-Tiv ri tnro AH© t>) ùwh H0A' \<m a.p».

Si enim inœqualis est AH© ipsi H©A , unus corara major est; sit major AH© ipso H0A. Com- munis addatur BH© ; ergo AH© , BH© ipsis BH© , H©A majores sunt. Scd AH© , BH© duobus rectis aequales sunt; et igitur BH© , H0A duobus rectis minores sunt. Recta; autem a minoribus quam duobus rectis productae in infinilum con- currunt. Jpsoc igitur AB , rA produclœ in infi- nilum concurrent?} non autem coucurrunt, quia parallclœ ponuntur; non igitur inacqualis est AH© ipsi H©A • sequalis igitur.

l'angle h©a intérieur opposé et placé du même côté, et les angles bh©, h®a intérieurs et placés du même côté, égaux à deux droits.

Car si l'angle ah© n'est pas égal à l'angle h©a , l'un d'eux est plus grand. Que l'angle AH© soit plus grand que h©a. Ajoutons l'angle commun BH0, les angles ah®, bh© seront plus grands que les angles BH©, h©Aj mais les angles ah©, bh© sont égaux à deux droits (i5); donc les angles BH©, h©a sont moindres que deux droits. Mais si deux droites sont prolongées à l'infini du côté où les angles intérieurs sont plus petits que deux droits , ces droites se rencontrent (dem. 5); donc les droites ab, ta prolongées à l'infini se rencontreront. Mais elles ne se rencontreront pas, puisqu'elles sont parallèles; donc les angles ah©,

LE PREMIER LIVRE DES

AX>a « V7ro AH© tw v7ro EHB tmv \w xa» » vtto EHB <xpa t» Ûtto H@A \nr\v '{th.

Koii'H Trpoç-y.sirôto t) Îitto BH0' a.1 a.pct XjIto EHB, BH0 to.7<; vtto BH0, H0A «Va/ ùriy. AAAa «/ v7ro EHB, BH0 <JW/c cpôctîç 'ifctf tWr xa» a; t/wo BH0, H0A âpa, JW/f opbaîç ïa-cti tint. H apa s/j Ta\ç7ra.pa,XXnX.ovç f xa) rà «£»j.

n P O T A 2 I 2 A'.

•te » «■

A» t» at/T» tvotia, rrttpa.XXnXoi «ai a.XXnXa,iç ti<n 7ra.pâ.XXtiXot.

Eftcù tm.ATi.pa. w AB , TA th EZ wttpaA- XnXoç' As^w e-n xaî 11 AB t» TA ttrr) ■7ia.pa.X- XyiXoç.

EfXTriTrTiTU yap lîf aùraç ewSê/ot h HK.

ELEMENTS D'EUCLIDE. 5i

Sed AH© ipsi EHB est aequalis ; et EHB igitur ipsi H0A est aequalis.

Communis addatur BH© • ergo EHB , BH© ipsis BH© , H0A sequales sunt. Sed EHB , BH© duobus rectis asquales sunt ; et BH© , H©A •gitur duobus rectis aequales sunt. Ergo ia parallelas , etc.

PROPOSITIO XXX.

Quae eidcm rectae parallelae sunt , et inter se sunt parallelae.

Sit utraque ipsarum AB , TA ipsi EZ paral- lela ; dico et AB ipsi rA esse parallelam.

Iucidat cnim in ipsas recta HK.

A

I-

■1 -Z

7*"

Ka) Wt) th iratpaXXnXovç tùùtia.ç rà